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函数项级数之幂级数.ppt

发布:2025-05-27约2.96千字共29页下载文档
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关于函数项级数之幂级数第1页,共29页,星期日,2025年,2月5日一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数。对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数列,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.机动目录上页下页返回结束第2页,共29页,星期日,2025年,2月5日为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的部分和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它机动目录上页下页返回结束第3页,共29页,星期日,2025年,2月5日例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数机动目录上页下页返回结束第4页,共29页,星期日,2025年,2月5日二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称机动目录上页下页返回结束第5页,共29页,星期日,2025年,2月5日发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M0,使阿贝尔目录上页下页返回结束第6页,共29页,星期日,2025年,2月5日当时,收敛,故幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,用反证法.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动目录上页下页返回结束第7页,共29页,星期日,2025年,2月5日幂级数在(-∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=?时,幂级数在(-R,R)收敛;(-R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径,在[-R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(-R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散机动目录上页下页返回结束第8页,共29页,星期日,2025年,2月5日定理2.若的系数满足证:1)若?≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当?≠0时,2)当?=0时,3)当?=∞时,即时,则机动目录上页下页返回结束第9页,共29页,星期日,2025年,2月5日2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径机动目录上页下页返回结束第10页,共29页,星期日,2025年,2月5日对端点x=-1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数机动目录上页下页返回结束第11页,共29页,星期日,2025年,2月5日例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1机动目录上页下页返回结束第12页,共29页,星期日,2025年,2月5日例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由机动目录上页下页返回结束第13页,共29页,星期

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