函数项级数之幂级数.ppt

因此由和函数的连续性得:而及机动目录上页下页返回结束第21页,共29页，2024年2月25日，星期天例8.解:设则机动目录上页下页返回结束第22页,共29页，2024年2月25日，星期天而故机动目录上页下页返回结束第23页,共29页，2024年2月25日，星期天内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动目录上页下页返回结束第24页,共29页，2024年2月25日，星期天2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动目录上页下页返回结束第25页,共29页，2024年2月25日，星期天2.在幂级数中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动目录上页下页返回结束第26页,共29页，2024年2月25日，星期天P2151(1),(3),(5),(7),(8)2(1),(3)P2577(1),(4)8(1),(3)作业第四节目录上页下页返回结束第27页,共29页，2024年2月25日，星期天阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,第28页,共29页，2024年2月25日，星期天感谢大家观看第29页,共29页，2024年2月25日，星期天**运行时,点击相片,或按钮“阿贝尔”可显示阿贝尔简介,并自动返回.关于函数项级数之幂级数一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数。对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数列,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.机动目录上页下页返回结束第2页,共29页，2024年2月25日，星期天为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的部分和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它机动目录上页下页返回结束第3页,共29页，2024年2月25日，星期天例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数机动目录上页下页返回结束第4页,共29页，2024年2月25日，星期天二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称机动目录上页下页返回结束第5页,共29页，2024年2月25日，星期天发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M0,使阿贝尔目录上页下页返回结束第6页,共29页，2024年2月25日，星期天当时,收敛,故幂级数