幂级数收敛域和函数.ppt

* 第三节 幂 级 数 第三节 幂级数 一. 函数项级数 1.定义 函数项级数 是定义在区间 I 上的函数列 在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数 收敛, 收敛点 发散, 发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域 2.收敛域 3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数 4.余项: 前n项的部分和 在收敛域内才有意义,且 二. 幂级数及其收敛性 幂级数 各项都是幂函数的函数项级数 一般形式: 特例 系数 (1) (2) 主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2) 1.幂级数的收敛域 x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间. 例 由等比级数的性质, 时收敛, 时发散 则收敛域(－1,1)内 定理1 (阿贝尔定理) 如果 ： 1.在点 收敛, 则当 时，它绝对收敛 2.在点 发散, 则当 时，它发散. 推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则 存在R0,使得当 |x|R 时它绝对收敛,当 |x|R 时它发散 注:三种收敛情形: (1) 仅在 x = 0 处收敛; (2) 在 内处处收敛; (3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论 收敛区间 R—收敛半径 R= 0 R= + ∞ 2.收敛半径的求法 定理2 (证明略) 例 求收敛半径和收敛域 x =1 时 收敛； x =－1时 收敛域是(－1，1] 发散 收敛域是(－∞，∞） 仅在 x =0 点收敛 设 x－2＝ t ,由(1)知 收敛域是(1,3] 收敛域是(－1,1] 令 t =3 时 t =－3时 发散 发散 收敛域是(－3,3) 收敛域是 缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R ρ1时,收敛. ρ1时,发散. 则收敛区间为 时,发散. 注:缺少奇次项,也可以用此方法. 三.幂级数的运算性质 1.四则运算性质 设 收敛半径分别为 和 ,记 则对于任意的 , 有 利用乘法可以定义除法 则 注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多 2. 分析运算性质 设 收敛半径为R, 则 (1) S(x) 在收敛域内连续; (2) S(x) 在(--R,R)内可导,且 *