函数展开成幂级数-.ppt

一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 小 结 * 第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 由上节知 问题: 1.如果函数能展开,幂级数系数 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下函数才能展开成幂级数? 和函数 求 和 展开？ 函数 泰勒公式 泰勒(Taylor)中值定理 其中 为n次多项式， 如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶导数, 有 其系数 则对任一个 由泰勒公式： 设想： 有 称为泰勒级数 定义 如果 在点 处任意阶可导, 称为 在点 的泰勒级数. 则幂级数 称为 在点 的麦克劳林级数. 问题 即泰勒级数除 外是否收敛? 是否收敛于f (x)? 定理 在 内, 在 的某邻域 内具有各阶导数， 设 在 内能展开成泰勒级数 则 由泰勒公式： 证明 必要性 由泰勒公式 充分性 展开式的惟一性： 逐项求导,得 泰勒系数 是唯一的, 在x=0点任意阶可导, 可见 因此，函数各阶导数存在，可以写出幂（泰勒）级数，但该级数是否收敛，以及是否收敛于该函数本身，却需要进一步考察. 必须证明 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 例2 解 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 幂级数与多项式逼近 由直接展开法可得几个常用函数的麦克劳林展开式： 牛顿二项式展开式 2.间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例3 解 例4 解