圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用.doc
Gerschgorin圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用
【摘要】:利用Gerschgorin圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明,简化了原证明过程。
关键词:Gerschgorin圆盘定理;矩阵;对角占优矩阵;特征值
ApplicationofGerschgorintheoreminstrictlydiagonallydominantmatrix
AnYuShuan
(UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinachengdugaoxinxiquxiyuandadao2006hao611731)
Abstract:UsingGerschgorintheoremgavetheproofaboutanumberofimportantconclusionsonstrictlydiagonallydominantmatrice,andtheproofisverysimple.
Keywords:Gerschgorintheorem;matrix;diagonllydominantmatrice;eigenvalue
1引言及预备知识
Gerschgorin圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理,在矩阵理论中占有很重要的地位,在很多方面均有应用,尤其在严格对角占优矩阵中.本文利用Gerschgorin圆盘定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明,简化了原证明过程.
定义[1]设,若,则称A为对角占优的;若,则称为严格对角占优的。
Gerschgorin圆盘定理[2]设是复方阵,记,,则A的任意特征值一定属于n个圆盘的并集;若在中,有k个互相连通且与其余个不相交,则A恰有k个特征值含在此k个圆盘组成的区域内。
2主要结果及证明
定理1严格对角占优矩阵的特征值全不为零.
证明:假设矩阵A有某一个特征值,则由Gerschgorin圆盘定理可知,必有某个i,使得,与矩阵A严格对角占优即相矛盾,因此严格对角占优矩阵的特征值全不为零。
定理2严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。
证明:由定理1可知,严格对角占优矩阵A的特征值全不为零,则只有零解,否则必有一个特征值为0,由只有零解可得,从而A为非奇异矩阵。
定理3设严格对角占优实方阵,且,则A的任一特征值的实部必大于零.
证明:设矩阵,,为A的任一特征值,由Gerschgorin圆盘定理可知,,则,因此,又因为严格对角占优实方阵,所以,由于,因此必有。
定理4设为严格对角占优实方阵,且,则。
证明:令,,其中:;。则为上的连续实变值函数,易见,若,则由根的存在性定理可知,必存在,使得。由于严格对角占优,则,即亦为严格对角占优,由定理3可知,与相矛盾,因此。
定理5主对角元为正的严格对角占优实对称阵的任何主子式必大于零。
证明:由于严格对角占优对称阵的任何主子式仍为严格对角占优的,因此由定理4可知其必大于零。
定理6若为严格对角占优矩阵,则矩阵的所有特征值的模小于1,其中。
证明:,记,则。由于A为严格对角占优的,即,则。设为的任一特征值,则由Gerschgorin圆盘定理知,,则
定理7[3]若为严格对角占优矩阵,则。
证明:设为A的n个特征值,由Gerschgorin圆盘定理的第2部分,在中,若有k个互相连通且与其余个不相交,则A恰有k个特征值含在此k个圆盘组成的区域内,另个特征值含在个圆盘内,即每个特征值必属于某个圆盘,n个特征值恰属于n个圆盘,因此,从而,,又因为,所以。
由上所述,利用Gerschgorin圆盘定理可以得到严格对角占优矩阵的许多重要结论,而且其推导过程也十分简捷。由此可见,Gerschgorin圆盘定理是矩阵中的一个十分重要的定理,其应用也非常广泛。
参考文献
[1]屠伯埙,徐诚浩,王芬.高等代数学[M].上海:上海科学技术出版社,1987
[2]刘丁酉.矩阵分析[M].武汉:武汉大学出版社,2003
[3]王松桂,吴密霞,贾忠贞.矩阵不等式[M].北京:科学出版社,2006