严格对角占优M-矩阵A的‖A~(-1)‖_∞的上界估计.pdf

第45卷第 16期 数学的实践与认识 Vo1．45．NO．16 2015年 8月 MATHEMATICSIN PRACTICE AND THEORY Aug．，2015 严格对角占优 M一矩阵 的 Il lI。。的上界估计 赵建兴，桑彩丽 (贵州民族大学理学院，贵州 贵阳550025) 摘 要：针对严格对角 占优M一矩阵 的ll lI。。的估计问题，利用逆矩阵元素的 上界，给出了II-1lIo。的单调递减的上界序列，理论证明及数值算例均表 明所得估 计改进 了某些现有结果． 关键词：严格对角 占优；M一矩阵；范数；上界；序列 1 引言 系数矩阵 的条件数 Cond(A)=1]AII~ ·lIA l】oo对线性方程组 Ax=b的迭代解法的 稳定性有重要影响 [1]_因此，在求解线性方程组之前，若能对Cond(A)有一个计算或估计，将 对选择应用什么算法有重要意义．确定 llIlo。是不困难的，但是确定 Il-1l】。。往往是很困难 的．在许多实际问题中，需要计算或估计的矩阵 往往是 M一矩阵．自从 1975年 VarahJM 在文献 2【]中给出 ll。。的第 1个上界估计式以来，对其研究一直异常活跃 [3-8]．本文继 续研究严格对角占优M一矩阵 的 Il lloo的上界估计问题，并给出其新的估计式． 2 定义和引理 首先给出本文用到的一些定义和引理． 令 R 表示n阶实矩阵集，N={1，2，… ，n)．设A= [aij]E ． 定义 1[]若 A的任意元素 a， 0，则称A为非负矩阵，记为A 0． 定义 2[]若 的非主对角元素非正，即aij 0，i≠J，i，J∈N，且 A_1 0，则称 为 非奇异M一矩阵． Vi，J，W ∈N，记 di=南 ∑ l， J(A)=(i∈N：di1)； J≠0 n r ∑ ]aijI、 南妄％『1wmax } =Un 定义 3[】若 满足 di 1，Vi∈Ⅳ；J(A)≠ ；且对 Vi∈N，i t，()，存在非零元素 序列 aii，aii，… ，aik，其中i≠il，il≠i2，… ，i≠ ，k∈ ()，则称A为弱链对角占优矩 阵． 定义 4[]若 J(A)=N，则称 为严格对角占优矩阵． 收稿 日期：2o15—02—24 资助项 目：国家 自然科学基金 通信作者 16期 赵建兴，等：严格对角占优M一矩阵A的JJA一Jl 的上界估计 285 显然，由定义 3和定义4知，若 A为严格对角占优矩阵，则A为弱链对角占优矩阵 ． 记Am‘’= 0【zj]，，J∈nl，… ，n)．例如 (，n)表示删去矩阵A的第 1行和第 1列后 所得到的A的主子矩阵． ． 引理 1[]设 A=a【ij]∈ 是弱链对角占优 M一矩阵 ． 则 B：A(2，n ∈ (n一1)×(n一1) 也是弱链对角占优 M一矩阵．记 一 ： ，] 0，B一=[bij] 0