高数第六章-定积分的应用2.ppt

第六章利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用

第一节定积分的元素法二、如何应用定积分解决问题第六章一、再论曲边梯形的面积

回忆曲边梯形求面积的问题一、再论曲边梯形的面积abxyoA研究步骤如下（1）把区间分成个长度为的小区间，相应的，第个小窄曲边梯形的面积为，则的近似值求和取极限，得A的精确值（2）

若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则分析：并取，于是abxyo面积元素那么就是所求面积的典型元素（简称典型元或微元）.工程应用上需用定积分解决的问题，常用微元分析法.

二、如何应用定积分解决问题第一步微分表达式第二步积分表达式这种分析方法称为近似值精确值第二节利用“化整为零,以常代变”求出局部量的利用“积零为整,无限累加”求出整体量的元素法(或微元分析法)元素条,带,段,环,扇,片,壳的几何形状常取为:等

二、体积第二节一、平面图形的面积三、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章1.旋转体的体积2.平行截面面积为的立体的体积

一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲那么边梯形面积为A,右以下图所示图形面积为

例1计算两条曲线所围图形的面积.解由得交点，则

例2与直线的面积.解由得交点所围图形那么有计算抛物线为简便计算,选取作积分变量,y

例3所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式求椭圆解利用对称性,

例4的一拱与x轴所围平面图形的面积.解求由摆线

圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积二、体积就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．旋转体旋转轴．这直线叫做旋转轴

那么体积为多少？为底的窄曲边梯形绕取以轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，、一般地，如果旋转体是由连续曲线、直及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，线取积分变量为，在上任取小区间，由此得旋转体的体积为：则xyo

由此,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有而当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有

例5所围图形绕x轴旋转而成，求这个油箱能装燃料的体积.解那么(利用对称性)飞机的辅助燃料油箱形状为椭圆利用直角坐标方程方法1

方法2那么特别当时,就得半径为a的球体的体积b=a利用椭圆参数方程

2.平行截面面积为的立体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),那么对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算.在

例6并与底面交成?角,解那么圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,如下图取坐标系,

(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长三、平面曲线的弧长

(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长

例7一拱的弧长.解计算摆线

内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程弧微分:直角坐标方程直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小面积元素:

3.平行截面面积函数A(x)的立体体积旋转体的体积绕x轴:

分析曲线特点练习解与x轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.?为何值才能使与x轴围成的面积等故〔舍去〕

第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题定积分在物理学上的应用第六章

一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x?a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为

例9一个单求电场力所作的功.解当单位正电荷距离原点r时,那么功的元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(ab),在一个带电荷所产生的电场作用下,由电场力为库仑定律+q(k为常数)

试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?例10解在任一小区间上的一薄层水的重