文档详情

微分方程专题培训.pptx

发布:2025-05-17约1.07千字共18页下载文档
文本预览下载声明

第七章微分方程

第1页

第1页

§1微分方程基本概念

第2页

第2页

则它满足:

1.引入

由(1)得

一条曲线过点

例1

,

且在该曲线上任一点

处切线斜率为

,

求这条曲线

方程.

设所求曲线方程为:

(1)

(2)

第3页

第3页

由(2)得

所求曲线方程为:

2.基本概念

微分方程:

常微分方程:

偏微分方程:

未知函数为一元函数方程.

含有未知函数导数或微分方程.

未知函数为多元函数方程.

第4页

第4页

微分方程中所含未知函数导数或微分最高阶数.

微分方程阶:

比如

一阶

三阶

四阶

第5页

第5页

3.微分方程解

(1)

阶微分方程形式:

若由(1)能够解出最高阶导数,

则(1)式变为

(2)

以后讨论微分方程都是:

已解出最高阶导数

或能解出最高阶导数方程,

并且右端函数

在所讨论范围内连续。

阐明

第6页

第6页

满足微分方程(1),即

则称函数

(1)

若函数

定义

为微分方程(1)解.

第7页

第7页

4.解形式

(1)通解与特解

假如微分方程解中含有任意常数,且

其中独立任意常数个数正好等于方程阶数,则称这个解为该方程通解.

不含任意常数解称为特解.

通解

特解

第8页

第8页

(2)显式解与隐式解

以显函数形式表示解称为显式解.

以隐函数形式表示解称为隐式解.

显式解

隐式解

第9页

第9页

5、初值问题

为了拟定任意常数,

还需要求解满足一定

条件。

通常要求条件是:

对于一阶方程,

或记为

通常要求条件是:

对于二阶方程,

或记为

第10页

第10页

求微分方程

满足初始条件

特解

问题:

记为

称为一阶微分方程初值问题。

类似地,

称为二阶微分方程初值问题。

问题:

(2)

(3)

第11页

第11页

定义

微分方程解图形是一条曲线,

称为该微分方程积分曲线。

初值问题(2)几何意义:

求微分方程

那条积分曲线。

初值问题(3)几何意义:

求微分方程

那条积分曲线。

且在该点处切线斜率为

过点

过点

第12页

第12页

例2

验证:

函数

是微分方程

解。

第13页

第13页

按定义,得:

函数

是微分方程

解。

第14页

第14页

阐明

上面已验证:

函数

是微分方程

解。

是微分方程

通解。

它含有两个任意常数。

任意常数个数

方程阶数

第15页

第15页

例3

已知函数

是微分方程

通解,

求满足初始条件

特解。

第16页

第16页

解得

所求特解为:

第17页

第17页

fin

第18页

第18页

显示全部
相似文档