微分方程专题培训.pptx
第七章微分方程
第1页
第1页
§1微分方程基本概念
第2页
第2页
则它满足:
1.引入
解
由(1)得
一条曲线过点
例1
,
且在该曲线上任一点
处切线斜率为
,
求这条曲线
方程.
设所求曲线方程为:
(1)
(2)
第3页
第3页
由(2)得
即
所求曲线方程为:
2.基本概念
微分方程:
常微分方程:
偏微分方程:
未知函数为一元函数方程.
含有未知函数导数或微分方程.
未知函数为多元函数方程.
第4页
第4页
微分方程中所含未知函数导数或微分最高阶数.
微分方程阶:
比如
一阶
三阶
四阶
第5页
第5页
3.微分方程解
(1)
阶微分方程形式:
若由(1)能够解出最高阶导数,
则(1)式变为
(2)
以后讨论微分方程都是:
已解出最高阶导数
或能解出最高阶导数方程,
并且右端函数
在所讨论范围内连续。
阐明
第6页
第6页
满足微分方程(1),即
则称函数
(1)
若函数
定义
为微分方程(1)解.
第7页
第7页
4.解形式
(1)通解与特解
假如微分方程解中含有任意常数,且
其中独立任意常数个数正好等于方程阶数,则称这个解为该方程通解.
不含任意常数解称为特解.
例
通解
特解
第8页
第8页
(2)显式解与隐式解
以显函数形式表示解称为显式解.
以隐函数形式表示解称为隐式解.
显式解
隐式解
或
例
第9页
第9页
5、初值问题
为了拟定任意常数,
还需要求解满足一定
条件。
通常要求条件是:
对于一阶方程,
或记为
通常要求条件是:
对于二阶方程,
或记为
第10页
第10页
求微分方程
满足初始条件
特解
问题:
记为
称为一阶微分方程初值问题。
类似地,
称为二阶微分方程初值问题。
问题:
(2)
(3)
第11页
第11页
定义
微分方程解图形是一条曲线,
称为该微分方程积分曲线。
初值问题(2)几何意义:
求微分方程
那条积分曲线。
初值问题(3)几何意义:
求微分方程
那条积分曲线。
且在该点处切线斜率为
过点
过点
第12页
第12页
例2
验证:
函数
是微分方程
解。
证
第13页
第13页
按定义,得:
函数
是微分方程
解。
第14页
第14页
阐明
上面已验证:
函数
是微分方程
解。
是微分方程
通解。
它含有两个任意常数。
任意常数个数
方程阶数
第15页
第15页
例3
已知函数
是微分方程
通解,
求满足初始条件
特解。
第16页
第16页
解
解得
所求特解为:
第17页
第17页
fin
第18页
第18页