微分方程-讲义2.pdf
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伯努利方程
我们将形如
30
+.!=M!⋅
3!
的方程称为伯努利方程；
当N=0,1，方程是线性微分方程；
当N≠0,1，方程是非线性微分方程；
令G=$+0，则原方程可写成
新的一阶线性方程
3G
+1−N.!G=(1−N)M(!)
3!
=
Y(n=名)
←
u/
装+Px)Y=Q×)⽼例.装⼀π⼦=x唔
1
-ydyy
~
atgy…p=θ→以装jw=x
x,
六θ-^=
炎
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微分方程-讲义1.pdf
第十章
微分方程
人口增长问题
由于人口的总数很大，可用一个连续模型来描述.假设在某时
刻-时某国家的人口总数为.-，它是一个关于时间连续可
微的函数.
讨论可得，
d.-
=0.-，
d-
其中0=1−3为人口的净增长率.
含有未知函数.(-)的方程
1
做分⾄含有未知致看作⼗=⼗☆未知
及其以分的等式
j=x
(t+x)dt+xdx=0
1
两边积台
t王x
-
=
毙x^
Y=X是⽅程
看作x=X(t)未⼝的⼀个解
或者
唯⼀?并不是
+xUxy
x=
t)t+0
-
微分方程-讲义3.pdf
二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性齐次方程：
!!+S!+[=0(∗)
设其解的形式为=EC%，其中\为待定常数，将其代入得
\#+S\+[=0特征方程
事实上，\是特征方程的解等价于=EC%是方程(∗)的解.
因此，特征方程的根的不同形式，决定了二阶常系数线性齐
次方程的通解的不同形式.
(r为待定)
P
1
⼀般→q次y=erx为解,Y
+
yP(x)y+Qxy=0
^**
1
^*
r
只能分析结构re+prertqe=0
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常微分方程讲义一).doc
常微分方程讲义（一）
课程目标：
掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。
上课方式：
课堂讲授、练习与考试。
课程特点：
承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。
参考书目：
《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。
为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？
注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。
微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。
什么是方程
-
偏微分方程讲义.ppt
例4，用古典显示格式求初边值问题的数值解，取h=1,τ=0.5.双曲型方程的差分解法可以使用下面的差分进行近似，上面的格式都是显格式。当然，也可以采用不同的格式组合得到其他的格式。这里不再讲解。2.3偏微分方程的Matlab求解工具PDEPE命令的使用方法及例子PDEPE（initial-boundaryvalueproblemsforparabolic-ellipticPDEsin1-D）是求解抛物线和椭圆型一维偏微分方程的命令。为求解这些类型的各种各样的问题，在求解方程的形式，初始条件以及边界条件上，PDEPE使用下面的统一结构。方程形式函数f用来描述“通量”，函数s用来描述“源”。010
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常微分方程讲义..doc
常微分方程讲义（一）
课程目标：
掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。
上课方式：
课堂讲授、练习与考试。
课程特点：
承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。
参考书目：
《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。
为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？
注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。
微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。
什么是方程
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03微分方程讲义–2010.ppt
数学模型 ? 动态模型 北京理工大学 王宏洲 （微分方程模型） 关于动态模型 微分方程模型的不同目的 预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不同时刻的状态； 预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存在哪些规律。 此前接触过的微分方程模型 本部分的主要内容 传染病模型 药物动力学房室模型 糖尿病的诊断 香烟过滤嘴的功效 烟雾的扩散与消失 减肥计划 新的人口模型 离散人口模型 Lanchester战争模型 自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数
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考研数学三讲义微分方程.ppt
例7.1.1求过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程.;可将求解的问题和条件归结为以下方程：;含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程.;7.2几种常见的一阶微分方程;1.可别离变量的微分方程;2.齐次微分方程;在(7.2.2)中，令;3.一阶线性微分方程;先求一阶线性齐次微分方程的通解.;现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，利用“常数变易法”求其相应的一阶线性非齐次微分方程的通解.;将此代入方程;不难验证，这就是方程;例7.2.1求微分方程;例7.2.2求初值问题;例7.2.3解方程;于是原方程变成;例7.2.4求方程;两边积分得;例7.2.5解方程;解法2：直接用一阶线性微分方
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(5.1.1)--4.14.2--讲义偏微分方程的差分方程.pdf
《流力》义
离
！迎回到。本节，进入流力这门二
习。二主要是析。别是：4，微离；5，
格与变换；6，单CFD入门技术。本习4.1节和4.2节限。
4.1
4.1.1
离
一流力中过：流力是控制中项微项
形式来表示，进而得到间、间点上表示离。因，先习一下
“离化”（discretization）。
离是一个闭形式表达式，求内限个离点限个单元来近
表示过。这些离点，就是常格点。4.1是一个典格示，
格点x和y向是布。事上，CFD中，间中格转换到物理
间中往往是，这些内。
4.1典格示
前，主要离法三种，即，限法、限法和限元法。其中，
限元法于力，得到了泛，前其流力阶法中也
是一个点，于间限元法DG
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常微分方程§53常系数线性微分方程组-公开课件（讲义）.ppt
例9 如果 解 直接计算可得 因此由公式(5.53)可得 例10 求方程组 满足初始条件 解 这里系数矩阵 特征根为 由(5.48)我们需要考虑下面方程 和 首先讨论 这个方程组的解为 其次 这个方程组的解为 解之得 代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得 (3) 非齐线性方程的解 下面研究非齐线性微分方程组 由于(5.60)对应齐次方程组 的基解矩阵为 故由常数变易公式, 例10 设 的解. 解 由例6知 故初值问题的解为 三 拉普拉斯变换的应用 (1)定义 定义其拉普拉斯变换为 常系数线性微分方程组: 1用拉普拉斯变换解微分方程组 (2)定理12 (3)
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§微分方程与微分方程建模法.doc
第三章 微分方程模型
3.1微分方程与微分方程建模法
一、 微分方程知识简介
我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。
常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
初等积分法：
-
《微分与微分方程》课件.ppt
*********************二阶常系数非齐次线性微分方程的应用1受迫振动2电路受迫振荡3控制系统二阶常系数非齐次线性微分方程在受迫振动、电路受迫振荡、控制系统等领域有广泛的应用。例如，在受迫振动问题中，可以使用二阶常系数非齐次线性微分方程来描述物体在外部驱动力作用下的振动行为。通过求解方程，可以分析系统的响应特性和稳定性。高阶微分方程1定义2形式3求解高阶微分方程是指包含未知函数的高阶导数的微分方程。高阶微分方程的形式比较复杂，求解难度也较大。但是，对于一些特殊类型的高阶微分方程，例如常系数线性微分方程，可以使用特定的方法进行求解。高阶微分方程在物理、工程等领域有重要的应用。常系
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求解微分方程.ppt
?本节讨论一阶线性微分方程(1)(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x)?0时称为一阶非齐次线性微分方程，Q(x)?0时称为一阶齐次线性微分方程。第23页，共76页，星期日，2025年，2月5日分离变量法这里表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。第24页，共76页，星期日，2025年，2月5日常数变易法，令一阶非齐次线性方程(1)的解法第25页，共76页，星期日，2025年，2月5日用常数变易法解非齐次方程的步骤：1.求出相应的齐次方程的通解；2.将通解中的任意常数C变为函数C(x)，然后代入非
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微分方程数值解.ppt
偏微分方程数值解主要是有限差分法和有限元法。偏微分方程发展史：(1)十八世纪初,Taylor:(2)十九世纪中期，三类偏微分方程：(3)十九世纪末到二十世纪初，其它方程：高阶方程：KDV方程：如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的解析解（也称古典解）。“微分方程的真解”或“微分方程的解”就是指解析解。寻找解析解的过程称为求解微分方程。微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的条件下得到证明，这已有许多重要的结论。但从实际上讲，人们需要并不是解在数学中的存在性，而是关心某个定义
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CH微分方程.doc
第十二章 微分方程
院系 .班级 .学号 .姓名 .
选择题
1．函数(其中是任意常数)是微分方程的（ ）
通解; 特解; 不是解; 是解,但即不是通解也不是特解;
2．微分方程的隐式通解为（ ）
3．设二阶导数连续且满足微分方程，是的一个极值点,
则（ ）
在的某邻域内是凹函数; 在的某邻域内是凸函数;
在的某邻域内单增; 在的某邻域内单减;
4．关于Bernoulli方程的
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第6章 常微分方程.ppt
第六章 常微分方程 6.1 微分方程的基本概念 一.? 两个例子 例6.1.1 已知一曲线过点A(1,3),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x,求此曲线的方程。 例6.1.2 质量为m的物体从空中自由落下,若略去空气的阻力，求物体下落的距离s与时间t的函数关系s ? s(t)。 二.? 微分方程的几个概念 1.??微分方程 2. 微分方程的阶 3.??微分方程的解 4.??微分方程的通解 5.? 微分方程的特解 6.? 初始条件 6.2??一阶微分方程 6.2.1 可分离变量的微分方程 例6.2.1 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中,细胞的繁殖率与细菌的数目成正比,若t