考研数学三讲义微分方程.ppt

例7.1.1求过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程.;可将求解的问题和条件归结为以下方程：;含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程.;7.2几种常见的一阶微分方程;1.可别离变量的微分方程;2.齐次微分方程;在(7.2.2)中，令;3.一阶线性微分方程;先求一阶线性齐次微分方程的通解.;现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，利用“常数变易法”求其相应的一阶线性非齐次微分方程的通解.;将此代入方程;不难验证，这就是方程;例7.2.1求微分方程;例7.2.2求初值问题;例7.2.3解方程;于是原方程变成;例7.2.4求方程;两边积分得;例7.2.5解方程;解法2：直接用一阶线性微分方程通解公式(7.2.4)：;例7.2.6求;例7.2.7求方程;原方程的通解为：;形如的方程称为

伯努利方程，;7.3高阶微分方程;1.可降阶的高阶微分方程;(1);(2);(3);例7.3.1解二阶微分方程;例7.3.2求初值问题;两端再积分，得;例7.3.3解方程;即;2.二阶线性微分方程解的结构;下面我们讨论二阶线性微分方程解的结构，这些结构可以推广到n阶线性微分方程.;以下定理均略去证明.;定理7.3.2设y*是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的一个特解,是方程(7.3.1)所对应的齐次线性微分方程(7.3.2)的通解,那么;定理7.3.3设非齐次线性方程(7.3.1)的右端f(x)是几个函数之和,如;3.二阶常系数齐次线性微分方程;就行.代数方程(7.3.4)称为微分方程(7.3.3)的特征方程.;(1)若特征方程有两个不同的实根r1,r2,方程(7.3.3)

有两个解;为简便起见，不妨取u(x)=x,那么;特征方程

的两个根;例7.3.4求微分方程;例7.3.5解方程;例7.3.6解方程;4.二阶常系数非齐次线性微分方程;是方程(7.3.7)的特解，Q(x)为待定多项式，将;代入(7.3.8)式，比较等式两端x同次幂系数，就可确定值，从而所求特解为;②如果λ是特征方程单根，即;③如果λ是特征方程重根，即;(2);是m次多项???，m=max{l,n},而k按)不是特征方程的根或是特征方程的单根分别取为0或1.;例7.3.9求;则;例7.3.10求微分方程;代入方程，得;例7.3.11求;比较同类项系数得;例7.3.12求;由待定系数法知;在现实世界中，有许多变量是离散变化的，如国家或地区人口数量的变化，银行存款的变化等都是离散变化的，前面研究连续变量的性态是以微分(或微商)为工具，现在研究离散变量的性态那么是以差分(或差商)为工具.;1．差分方程一般概念;类似地，m－1阶差分的差分称为的m阶差分，记为Δm,二阶及二阶以上的差分均称为高阶差分.;定义7.6.1含有未知函数差分的方程称为差分方程.;所谓差分方程的解是指代入方程能使方程成为恒等式的函数，;解:一阶差分为;解:一阶差分为;用差分表示为;当n=0,1,2,…,k,…时，有;2．一阶常系数线性差分方程;首先讨论一阶常系数线性齐次差分方程的解法.;解得r=b,;对于非齐次线性差分方程(7.6.4)，其特解可按如下方法求得：;代入(7.6.4)后可用待定系数法求出.;解法1(迭代法);将;即;因此满足初始条件的特解为