专题微分方程建模(义).doc

微分方程建模 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理、力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学、人口预测等社会科学方面的应用则是在类比、假设等措施下建立起来。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。 求解微分方程的方法： (1) 求精确解； (2) 求数值解（近似解）； (3) 定性理论方法。 一般地，求微分方程的解析解是相当困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解。因此，首先需要研究微分方程的解的存在性和稳定性的问题。 一．微分方程理论回顾 1. 微分方程的一般形式 一阶微分方程 (1) 其中是和的已知函数，为初始条件，又称定解条件。 一阶微分方程组 (2) 又称一阶正规方程组。如果引入向量 ， ， ， ， 则方程组(2)可以写成简单的形式： (3) 即(3)与(1)的形式相同，当时(3)为方程(1). 对于任一高阶的微分方程 记，，则 ， 即可化为一阶方程组的形式。 下面对正规方程组(3)进行讨论。 2. 微分方程解的存在唯一性 正规方程组(3)的解存在且唯一的条件由下列定理给出。 定理1 如果函数在上连续，则方程组(3)在上有解满足初始条件，此处。 定理2 如果函数在上连续，且满足利普希兹(Lipschitz)条件(即存在正常数使得， 其中，则方程组(3)满足初始条件的解是唯一的。 3. 微分方程的稳定性问题 在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只考虑影响该过程的主要因素，而忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素。这些干扰因素在实际中可以瞬时的起作用，也可以持续的起作用。从数学上看，前者会引起初值条件的变化，而后者会引起微分方程本身的变化。在实际问题中，干扰因素是客观存在的。由此，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题。下面以方程组(3)为例来讨论。 3.1 有限区域的稳定性 如果在某个有限的区域内连续，且对满足利普希兹(Lipschitz)条件， ()是方程组(3)的一个特解，则当充分接近于时，方程组(3)在上满足初值条件的解有 ， () 即对任意给定的，总存在相应的，当时，对一切有 此时称方程组(3)的解在有限区间上是稳定的。 3.2 经常扰动下的稳定性 对于方程组(3)， 考虑相应的方程组 (4) 这里的称为扰动函数。 如果对于任意给定的，总存在相应的和，使得当时有 则方程组(4)有满足初始条件的解，且当时有 就说方程组(3)的特解在经常扰动下是稳定的。 3.3 研究稳定性的方法 实际中，要研究方程组(3)的解的稳定性问题，可以转化为研究方程的零解(平凡解)的稳定性问题。事实上： 对于方程组(3)的任一特解，只要令，则 显然有，故方程组(3)变为 (5) 于是可知方程组(3)的解对应于方程组(5)为(平凡解)。因此，要研究方程组(3)的解的稳定性问题可转化为研究方程组(5)的平凡解的稳定性问题。 4． 微分方程的平衡点及稳定性 4.1 微分方程的平衡点 设有微分方程组(3)， 即 ， 对于，，在某个区域连续，且满足解的存在唯一性条件。如果存在某个常数，使得，则称点为方程组(3)的平衡点(或奇点)，且称为方程组的平凡解(或奇解)。 如果对于所有可能初值条件，方程组(3)的解都满足 则称平衡点是稳定的， 否则是不稳定的。 实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法和直接方法。 间接方法：首先求出方程的解，然后利用定义来判断。 直接方法：不用求方程的解直接地来研究其稳定性