3微分方程方法建模.ppt

模型4 消去dt SIR模型 相轨线 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 s i 1 0 1 D 模型4 SIR模型 相轨线 及其分析 传染病蔓延 传染病不蔓延 s(t)单调减?相轨线的方向 P1 s0 im P1: s01/σ ? i(t)先升后降至0 P2: s01/σ ? i(t)单调降至0 1/σ~阈值 P3 P4 P2 S0 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 ? (日接触率)? ? 卫生水平? ?(日治愈率)? ? 医疗水平? 传染病不蔓延的条件——s01/? ? 的估计 降低 s0 提高 r0 提高阈值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群体免疫 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值1/σ?降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? 模型验证 20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了 dr/dt 的实际数据，KerMack等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。 根据前面的SIR模型： 和 有： 于是： 当 时，取（*）式右端的Taylor展开的前三项，在r0=0初始值下求解，得到： 其中： 带回（*）式，即有： 然后确定s0等参数 ，画出r（t）的图形，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。 3.4 被捕食者-捕食者模型 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？ 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 t x(t) y(t) 0 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … … … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 … … … 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax? 65.5, xmin ? 6, ymax ? 20.5, ymin ? 3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。 食饵-捕食者模型(Volterra) 消去dt 分析第一象限的相轨线行为 c 由初始条件确定 取指数 x0 fm f(x) x 0 g(y) gm y0 y 0 在相平面上讨论相轨线的图形 相轨线 时无相轨线 以下设 y2 y1 x Q3 Q4 q y1 y2 x1 x2 p y y0 x x0 P 0 x1 x2 Q1 Q2 Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) Q3(x,y1), Q4(x,y2) 相轨线退化为P点 存在x1x0x2, 使f(x1)=f(x2)=p 存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q 相轨线是封闭曲线族 x Q3 Q4 f(x) x x0 fm 0 g(y) gm y0 y 0 相轨线 相轨线是封闭曲线 x(t), y(t)是周期函数(周期记 T) 求x(t), y(t) 在一周期的平均值 轨线中心 用相轨线分析 点稳定性 ? T2 T3 T4 T1 P T1 T2 T3 T4 x(t) 的“相位”领先 y(t) 模型解释 初值 相轨线的方向 模型解释 r ~食饵