讲微分方程方法.ppt

* * 三 .战争的预测与评估问题 3. 模型的建立与求解 问题(3)作为思考题,参见兰彻斯特作战模型. * * 　　 SARS(严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病． SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了一定的影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性． 四 .SARS的传播问题 １．问题的提出 * * 四 .SARS的传播问题 １．问题的提出 请你对SARS 的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计. * * 实际中，SARS的传染过程为： “易感人群→病毒潜伏人群→ 发病人群→退出者” 通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律． 将SARS传播过程分为控前和控后两个阶段． 四 .SARS的传播问题 2．问题的分析 * * 在控前阶段，SARS按自然传播规律传播 ； 在控后阶段，随着人们防范措施的增强促使日传染率减小，主要有两方面的原因： 　　（1）来自于因对疫情的恐慌心理； 　　（2）来自于防预政策、法律法规的颁布等． 四 .SARS的传播问题 2．问题的分析 * * 四 .SARS的传播问题 3．模型的建立与求解 具体模型详见教材。 * * 五 .相关的问题数学模型 传染病理论模型： SI模型、SIS模型、SIR模型、SIER模型。 人口理论模型： Malthus模型、Logistic模型、人口的发展方程。 信息工程大学 信息工程学院 微分方程的一般理论； 微分方程的平衡点及稳定性； 案例：战争的预测与评估问题； 案例：SARS的传播问题。 第三章 微分方程方法 * * * * 第三章 微分方程方法 微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。 含有微分项的方程通称为微分方程。 一、微分方程的一般理论 * * 开普勒三大定律： 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆; 行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数； 行星运动周期之平方与平均距离之立方成正比。 * * 一、微分方程的一般理论 1. 微分方程的一般形式 * * 一、微分方程的一般理论 1. 微分方程的一般形式 * * 一、微分方程的一般理论 1. 微分方程的一般形式 * * 一、微分方程的一般理论 2. 微分方程解的存在唯一性 问题：正规方程组（2）的解在什么条件下存在，且唯一呢？ * * 一、微分方程的一般理论 2. 微分方程解的存在唯一性 * * 一、微分方程的一般理论 3. 微分方程的稳定性问题 　微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。 　　干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。 　 问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？ * * 一、微分方程的一般理论 3. 微分方程的稳定性问题 （1）有限区间的稳定性 （2）无限区间的稳定性 （3）渐近稳定性 （4）经常扰动下的稳定性 第三章 微分方程方法 实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。 * * * 二 .微分方程的平衡点及其稳定性 １．平衡点的概念 * * 二 .微分方程的平衡点及其稳定性 １．平衡点的概念 问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？ * * 二 .微分方程的平衡点及其稳定性 １．平衡点的概念 * * 二 .微分方程的平衡点及其稳定性 2. 一阶方程的平衡点及稳定性 * * 二 .微分方程的平衡点及其稳定性 3.平面方程的平衡点及稳定性 * * 二 .微分方程的平衡点及其稳定性 3.平面方程的平衡点及稳定性 * * 三 .战争的预测与评估问题 １．问题的提出 由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问