欧拉方法在常微分方程.ppt

第八章常微分方程数值解法欧拉方法在常微分方程第8章常微分方法的数值解法科学技术与工程问题常常需要建立微分方程形式的数学模型，下面是这类问题的例子。设N（t）为某物种的数量，为该物种的的出生率与死亡率之差，为生物的食物供给及它们所占空间的限制，描述该物种增长率的数学模型是设Q是电容器上的带电量，C为电容，R为电阻，E为电源的电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是第2页,共15页，星期六，2024年，5月以上两个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。设一跟长为L的矩形截面的梁，两端固定。E是弹性模量，S是端点作用力，I（x）是惯性矩，q是均匀荷载强度，梁的桡度y（x）满足如下方程针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离散点上的近似值的方法。本章讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。第3页,共15页，星期六，2024年，5月8.1Euler方法8.1.1Euler方法及其有关的方法考虑一阶常微分方程初值的问题：设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（8.1.1）进行离散化。一般是引入点列{}，这里为步长，经常考虑定长的情形，即。记为初始问题（8.1.1）的问题准确解在处的值，用均差近似代替（8.1.1）的导数得第4页,共15页，星期六，2024年，5月令为的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得（8.1.2）（8.1.3）从处的初值开始，按（8.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称（8.1.2）式为显式Euler。由于（8.1.3）式的右端隐含有待求函数值，不能逐步显式计算，称（8.1.3）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果将（8.1.2）和（8.1.3）两式作算术平均，就得梯形公式。第5页,共15页，星期六，2024年，5月梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由去计算，故称它们为单步法。例8.1取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解解本题有如果用Euler方法，由（8.1.2）并代入h=0.1得同理，用隐式Euler方法有（8.1.4）第6页,共15页，星期六，2024年，5月用梯形公式有三种方法及准确解的数值结果如表8-1所示。从表中看到，在处，Euler方法和隐式Euler方法的误差分别是和，而梯形方法的误差却是。在例8.1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计算。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如，其隐式Euler公式为。显然，它是的非线性方程，可以选择非线性方程求根的迭代求解。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供迭代初值