微分方程与求解方法 .ppt

微分方程求解方法 钟献词 2009年7月 内容简介 微分方程的分类 常微分方程的符号求解 常微分方程的数值求解 偏微分方程的求解工具箱 微分方程的数值编程计算 一、微分方程的分类 常微分方程 1、常微分方程的初值问题 2、常微分方程的边值问题 偏微分方程 1、偏微分方程的初值问题 2、偏微分方程的边值问题 3、偏微分方程的混合问题 二、常微分方程的符号求解 对于符号计算，不论是初值问题，还是边值问题，其求解微分方程的指令形式相同。 符号计算可能花费较多机时，可能得不到简单的解析解，可能得不到封闭形式的解，甚至也可能无法求解。 一般来说，对于简单的微分方程，建议根据课本中的方法，自己动手求解，不要采用计算机求解。 2.1 求微分方程符号解的一般指令 S=dsolve(‘a_1’,’a_2’,…,’a_n’): 输入的宗量包括微分方程、初始条件、指定独立变量。 微分方程的记述规定：当’y’是“应变量”时，用“Dny”表示’y’的n-阶导数。 初值和边值条件分别写成y(a)=b,Dy(c)=d等。 输出宗量S是结构变量。 例题(Dexamp1) 三、常微分方程的数值求解 初值常微分方程的基本机理 1、列出微分方程和相应的初始条件 运用变量替换，把一个高阶方程写成一阶微分方程组。初始条件也做相应的变换。 三、常微分方程的数值求解 一阶微分方程组 三、常微分方程的数值求解 Solver解算指令 至今尚没有一种算法可以有效地解决各种初值问题，为此Matlab提供了多种Solver指令。主要有：ode45,ode23, ode113等等 解算指令的使用格式（Dexamp2) 解算指令简洁格式使用示例 问题的形成 轨道上运动的卫星，在Newton第二定律和万有引力定律作用下有： 即： 解算指令简洁格式使用示例 构成一阶微分方程组(Dexamp3,Dexamp4) 令： 则： 初始条件： 解算指令复杂格式使用示例 带事件设置的ODE文件及主程序编写演示(Dexamp5) ODE文件模板及其使用 1、在指令窗中运行：help odefile,就出现模板。 2、把此模板全部内容拷到文件编辑器中。 3、修改和编辑文件。 4、主要以下三者一致：存放在目录上的名称，函数文件第一行中等式右边的函数名称，在微分方程解算指令调用该ODE文件时的字符串名称。 四、常微分方程的边值问题解 微分方程边值问题可能有解、也可能无解，可能有唯一解、也可能有无数解。 求解边值问题的基本配套指令 solinit=bvpinit(x,v,parameters):生成bvp4c调用指令所必须的“解猜测网” sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2…)给出微分方程边值问题的近似解 Sxint=bvpval(sol,xint):计算微分方程积分区间内任何一点的解值。(Dexamp6) 五、偏微分方程工具箱（PDEtool) 求解下列椭圆型方程