微分方程求解..doc

桂林电子科技大学 数学与计算科学学院实验报告 实验室： 实验日期： 年 月 日 院（系） 数学与计算科学 学号 姓名 成绩 课程 名称 数学应用软件实验 实验项目 名 称 微分方程求解 指导教师 覃义 一、实验目的 1. 学会通过MATLAB用数值和解析两种方法求解微分方程； 2. 通过实例学习用微分方程解决实际问题； 二、实验原理 1. 符号微分方程的求解dsolve dsolve语句中用字母D来表示求微分，D2，D3等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后面所跟的字母为因变量。独立变量可以指定或由symvar规则选定为缺省。Dsolve函数也可以用来求解微分方程组，其调用格式为： y = dsolve(‘eq1’,’eq2’,….,’eqn’,’cond1’,’cond2’,...,’condm’,’v’) 其中‘eq1’,’eq2’,….,’eqn’是微分方程，’cond1’,’cond2’,...,’condm’是初始条件，v为自变量。 2. 常微分方程的数值解 在微分方程难以得到解析解的情况下，可以求其数值解，其调用格式为： [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 说明： （1）其中solver为命令ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一； （2）odefun是显式常微分方程： （3）在积分区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解。 （4）要获得问题在其他指定的时间点t0,t1,...,tf上的解，则令tspan=[t1,t2,...,tf]（单调）。 （5）因为没有一种中以有效地解决所有的ODE问题，为此MATLAB提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver： 求解器solver ODE类型 特点 说明 ode45 非刚性 单步算法；4-5阶龙格-库塔方程；累计截断误差在 大部分场合的首选算法 ode23 非刚性 单步算法；2-3阶龙格-库塔方程；累计截断误差在 使用精度较低的场合 ode113 非刚性 多步算法；Adams算法；高低精度均可达到 计算时间比ode45短 ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性场合 ode15s 刚性 多步法；Gear’s反向数值微分；精度中等 ode45失效时可以尝试使用 ode23s 刚性 单步法；2阶Rosenbrock算法；低精度 当精度较低时，计算时间比ode45要短 ode23tb 刚性 梯形算法；低精度 当精度较低时，计算时间比ode45要短 （6）特别要提到的是：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程（组）的初值问题的解的MATLAB的常用程序，其中 ode23：采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有较低的精度。 ode45：采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度。 3. inline（）：建立一个内联函数。格式为：inline(‘expr’,’var1’,’var2’,...,’varn’)，注意括号内的表达式要用单引号。 三、实验内容 1. 求解微分方程：. 2. 求解微分方程：. 3.求解微分方程在初始条件的特解。 4.求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0,1] 5. 求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间 6. 求一曲线方程,该曲线经过原点,且在点处的切线低斜率为. 7. 求微分方程的通解. 8. 求微分方程的通解. 9. 设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,绳索仅受重力的作用而下垂,试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 四、实验过程原始记录（数据，图表，计算等） 1. 求解微分方程： dsolve(Dy+y*tan(x)=(cos(x))^2) ans = (cos(x)^2 - C2/exp(t*tan(x)))/tan(x) dsolve(Dy+y*tan(x)=(cos(x))^2,x) ans = sin(2*x)/2 + C12*cos(x) 2. 求解微分方程：. dsolve(Dy=(x^2+y^2)/(x*y),x) ans = 2^(1/2)*x*(C16 + log(x))^(1/2) -2^(1/2)*x*(C16 + log(x))^(1/2)