常微分方程求解的高阶方法论文.doc

　常微分方程求解的高阶方法毕业论文 目 录 第一章 前 言 1 1.1案例引入微分方程概念 1 1.2微分方程的基本概念 1 1.2.1微分方程及微分方程的阶 1 1.2.2微分方程的解、通解与特解 1 1.2.3微分方程的初值条件及其提法 2 1.2.4微分方程的解的几何意义. 2 1.3从解析方法到数值方法概述 3 1.4常温分方程的离散化 4 第二章 数值解法公共程序模块分析 5 第三章 欧拉（Euler）方法 7 3.1 Euler方法思想 7 3.2 Euler方法的误差估计 8 3.3改进的Euler方法 8 3.3.1梯形公式 8 3.3.2改进Euler法 9 第四章 休恩方法 10 4.1 休恩方法思想 10 4.2休恩方法的步长和误差 10 第五章 泰勒级数法 11 5.1泰勒定理 11 5.2 N次泰勒方法 12 第六章 龙格-库塔（Runge—Kutta法） 13 6.1龙格-库塔（Runge—Kutta）方法基本思想 13 6.2 阶龙格-库塔（Runge—Kutta）方法公式 14 第七章 预报-校正方法 15 7.1 Milne-Simpon方法 16 7.2误差估计于校正 16 7.3 正确的步长 17 第八章 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 17 8.1 一阶微分方程组的数值解法 17 8.2 高阶微分方程的数值解法 18 第九章 常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用 19 9.1耐用消费新产品的销售规律模型 19 9.1.1 问题的提出 19 9.1.2 模型的构建 19 9.1.3 模型的求解 20 9.2 司机饮酒驾车防避模型的数值解法 21 9.2.1 模型假设 22 9.2.2 模型建立 22 9.2.3 模型求解 24 9.2.4 模型评价 25 9.2.5 诚恳建议 25 9.2.6 模型推广 26 主要参考文献 26 致 谢 27 第一章 前 言 1.1案例引入微分方程概念 在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用。我们看一实例。 案例：一次谋杀案，在某天下午四点发现尸体，尸体的体温为30℃，假设当时屋内空间的温度保护20℃不变，现判断谋杀是何时发生的？ 解决此问题首先必须要从尸体温度的变化寻求关系式，这就需要知道物理学中的加热与冷却规律。物理学家牛顿（Newton）(或微分)的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程； 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方； (1.1)和(1.5)式均是微分方程. 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶. 微分方程(1.1)是一阶的，微分方程(1.2)是二阶的. 1.2.2微分方程的解、通解与特解 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解. 例如和都是的解. 又如和都是的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解. 1.2.3微分方程的初值条件及其提法 用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件. 初值条件的提法： 当x=x0时，y=y0， 1.2.4微分方程的解的几何意义. 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线. 所以函数是所给微分方程(1.3)的解.又因为这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程(1.3)的阶数相同，所以它是该方程的通解. 1.3从解析方法到数值方法概述 求解常微分方程的解析方法很多，像变量分离法，积分因子法，遗憾的是实际上得到的大部分常微分方程都不能使用这些理论上的方法。 数值求解微分方程的方法基于有限维近似，这个过程称为离散化，我们将用代数方程代替微分方程，用代数方程的解近似微分方程的解，对初值问题来说，近似解的值是在求解区间上一步步地产生的，因此求解常微分方程的数值方法也称为离散变量法，在由一个离散点的值计算下一个点的值时，一般会产生一定的误差，这样新的近似解将落在常微分方程的另一个解上，而这个解与开始所求的解是不同的，解的稳定性决定了这类误差将随时间的增大而放大或缩小。 1.4常温分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 在下面的讨论我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点 处的近似值的方