微分方程建模教程.ppt

微 分 方 程 建 模; 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 讨论微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 分析方法。;建立微分方程模型的方法;（3）模拟近似法;一、 流入--流出问题(微元法);第一步列方程;初始条件;第二步解方程;水面高度与时间的函数关系; 二、 追线问题（根据规律建模）;1.模型假设：;或;在上式中有负号是因为;得到;当;三、交通管理问题 (模拟近似法建模);对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定： ;如果法定速度为 ; 我们给出方程（1）的初值条件; 注意到（3）式中令 ;假设 ; 我们注意到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转红灯时正处于交叉路口。; 为了保持自然资源的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。首先我们建立两个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。;我们来建立如下的一些问题的模型：;指数增长模型——马尔萨斯1798年提出;指数增长模型的应用及局限性;阻滞增长模型——逻辑斯蒂(Logistic)模型;dx/dt;参数估计;r =0.2022/10年，x0 =6.0450 ;模型检验;考虑年龄结构和生育模式的人口模型;人口发展方程; 传染病模型; 已感染人数 (病人) i(t);模型2;模型2;模型3;模型3;模型4;模型4;模型4;模型4;s;模型4;模型4;模型4;传染病模型;思考;设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间;于是，令;令; 古尸年代鉴定问题;　　　年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性 同位素　　，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层 大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活 组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着 在活体中，　的数量与稳定的　　的数量成定比， 生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以 每年八千分之一的速度减少。;设 t 为死后年数，;年代测定的修订：;放射性核废料处理问题;这几位工程师通过大量的实验证明: 若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂。 圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？ 通过建立数学模型来解决这一问题。 ;一些参数及假设： ;2 建模与求解 受力分析： ;根据牛顿第二定理;将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于;其解为：;由近似公式;3 结论：;注意：