2025年九年级中考数学二轮复习：圆中相似三角形和锐角三角函数综合问题含答案.docx

2025年九年级中考数学二轮复习：圆中相似三角形和锐角三角函数综合问题含答案

在九年级中考数学的二轮复习中，圆中的相似三角形与锐角三角函数的综合问题是一个重要的考点。以下是一些具体的复习内容，包括题目和详细答案：

一、相似三角形问题

1.题目：在圆O中，弦AB平分弦CD于点E，且∠AEC=30°，∠AOD=40°。求证：△AEC∽△AOD。

解答：

连接OA、OC。

因为AB平分CD，所以OE垂直CD，即∠OEC=90°。

因为∠AEC=30°，所以∠AEO=60°。

因为∠AOD=40°，所以∠DAO=20°。

在△AEC和△AOD中，∠AEC=∠AOD（对顶角相等），∠AEO=∠DAO（公共角），所以△AEC∽△AOD（两角相似）。

2.题目：已知圆O的半径为5cm，点A、B在圆上，且∠AOB=60°。求AB的长度。

解答：

因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形。

所以AB=AO=BO=5cm。

二、锐角三角函数问题

1.题目：在直角坐标系中，点P位于第一象限，且在直线y=x上。若点P到原点的距离为√10cm，求∠POx的正弦值、余弦值和正切值。

解答：

因为点P在直线y=x上，所以∠POx=45°。

在直角三角形POx中，OP=√10cm，因为∠POx=45°，所以三角形POx是等腰直角三角形。

因此，PX=OX=OP/√2=√10/√2=√5cm。

正弦值sin∠POx=PX/OP=√5/√10=1/√2。

余弦值cos∠POx=OX/OP=√5/√10=1/√2。

正切值tan∠POx=PX/OX=1。

2.题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm。求sinA、cosA和tanA的值。

解答：

根据勾股定理，AC=√(AB^2BC^2)=√(13^25^2)=√(16925)=√144=12cm。

sinA=BC/AB=5/13。

cosA=AC/AB=12/13。

tanA=BC/AC=5/12。

通过这些具体的例题和详细解答，可以帮助学生更好地理解和掌握圆中相似三角形和锐角三角函数的综合问题。