2025年九年级中考数学三轮冲刺圆中相似三角形和锐角三角函数综合问题（含解析）.docx
2025年九年级中考数学三轮冲刺圆中相似三角形和锐角三角函数综合问题
1．如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
（1）求证：AE2＝AF?AD；
（2）若sin∠ABD=255，AB＝5，求S
2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD=BC，连接AD、BD．CE⊥DA，交DA延长线于点
（1）证明：AC平分∠EAB；
（2）若CD平分∠ACB，
①当AB＝4时，求AE的长；
②设AC＝x，BC＝y，直接写出y与x的函数关系式．
3．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA＝PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．
（1）证明：PA是⊙O的切线；
（2）证明：DB2＝DC?DA；
（3）若BD＝4，sin∠ADP=35，求线段OP
4．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=34，CD＝24，求⊙
（3）请问GF
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC切于点E，与AB交于另一点D．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若BO＝4，BE＝6，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，直接写出cosA的值．
6．已知，如图，线段AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH?EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=35，求
7．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．AF＝1，EF＝2，
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）求sin∠F；
（3）求BD的值．
8．如图，△ADP是直角三角形，∠PAD＝90°，以AD为直径作⊙O，与PD相交于点B，连接AB．
（1）尺规作图：在劣弧BD上取点C，使得弧AB＝弧BC，连接AC，交BD于点E；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABE∽△DBA；
（3）在（2）的条件下，连接CD，若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB，点E为AB的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）求证：△ACF∽△ECB；
（3）若CD=4，tan∠CEB=12，则直接写出CF?CE＝
10．如图，在菱形ABCD中，CH⊥AB于H，以CH为直径的⊙O分别交BC，AC于点E，F，连接EF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：△CEF∽△CAD；
（3）若AB＝10，AC＝12，求tan∠CFE．
11．综合探究
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，在AC上取一点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆，分别交AB于点D，交AC于点E，交BC于点F，连接CD，且D为EF的中点．
【问题初探】求证：AB为⊙O的切线；
【深入探究】连接DE，求证：△ACD∽△ADE；
【问题拓展】若cos∠DCE=45，CD＝8，求AE，
12．如图1，AC为?ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连接BE．
（1）求证：∠BAC＝∠ABE；
（2）如图2，当AB＝AC时，连接OA、OB，延长AO交BE于点G，求证△GOB∽△GBA；
（3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，连接AE、OF．当EFFG=7
13．如图1，⊙O经过平行四边形ABCD的A，C两点，且分别交AB，BC于E，F两点，其中EF＝5，AC＝12．
（1）求S四边形AEFC
（2）如图2，若tan∠BAC?tan∠ACB＝1．
①求证：平行四边形ABCD为矩形；
②求⊙O的半径．
、
1．【解答】（1）证明：点D，E在以AC为直径的⊙O上，EH⊥AC，垂足为H，如图1，连接ED，
∴∠EAH+∠AEH＝90°，∠AEC＝90°，
∴∠EAH+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEH，
∴∠ADE＝∠AEH，
又∵∠EAF＝∠DAE，
∴△EAF∽△DAE，
∴AEAD
∴AE2＝AF?AD；
（2）解：点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，如图2，连接OB，过点G作GK⊥AD，垂足为K，过点G作GM⊥CD，垂足为M，
∴∠ADC＝90°，∠AOB＝2∠ADB＝90°，GK＝GM，
在等腰直角△A