2025年九年级中考数学三轮冲刺圆中相似三角形和锐角三角函数综合问题练习（含解析）.docx
2025年九年级中考数学三轮冲刺圆中相似三角形和锐角三角函数综合问题练习
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D为弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．
（1）如图1，求证：△ADC∽△DEC；
（2）若⊙O的半径为3，求CA?CE的最大值；
（3）如图2，连接AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE=3
2．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是AB的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．
（1）证明：∠BCE＝∠ACE；
（2）求证：CF是⊙O的切线；
（3）若sinF=45，BE＝2，求DE?
3．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CA?CB；
（3）若CD＝4，CB＝8，求tan∠CDA的值．
4．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形CEPF是正方形；
（2）当sinA=45时，求
（3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值．
5．如图，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，连接OA，OC，点B在⊙O外，AB＝AC，连接BC交OD于E，交OA于F，OE＝OF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OF＝3，sin∠AOD=35，求⊙
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB?CP＝BD?CD；
（3）若tan∠ABC＝2，AB＝25，求线段DP的长．
7．如图1，在⊙O中，直径AB＝10，D是AB上的动点，过点D作EF⊥AB交⊙O于点E，F连接BE，取BE的中点H，连接FH交AB于点M，并延长FH交⊙O于点C，连接CB．
（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，求FM?FC的值．
（2）在点D的运动过程中，FMFH
（3）连接OH，DH，当△ODH是等腰三角形时，求tanC的值．
8．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP=13时，求BP
②求CQAP
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF?AC＝AE?AH；
（3）若sin∠DEA=45，求
10．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，O是边BC上一点，以O为圆心，OB为半径在BC边的右侧作半圆O，交AB于Q点，交BC于P点．
（1）若BC＝2，当CQ取最小值时，求OC的长；
（2）已知CQ＝CA，
①判断CQ与半圆O的位置关系，并说明理由；
②若OB=152，BQ＝65，求tan∠CQA的值以及
11．如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF＝1，CP＝2，sinA=45，求O到
12．如图，已知△ABP中，C是BP边上的一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD于点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB＝12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求sin∠ACE的值．
13．如图，四边形ABDC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，延长CD，AB交于点E，连接BC交AD于点M，过点B作BF⊥CE，垂足为点F，已知∠BDF＝∠ACB．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若OA＝4，sin∠ACB=34，求BC
（3）若CD＝DF，则DMAM
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相交于点M，连接DM，求证：DM＝DC；
（3）若sin∠BAD=33，求证：AM＝
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接