《曲线及其方程》课件.ppt

曲线及其方程

课程目标理解曲线与方程关系掌握数学表达与几何图形间的对应掌握常见曲线标准方程熟悉圆、椭圆、双曲线等基本形式应用曲线方程解决问题

第一章：曲线与方程的基本概念几何与代数的桥梁曲线方程连接几何图形与代数表达研究基础为高等数学和应用科学奠定理论基础应用广泛工程、物理、天文等领域的基础工具

什么是曲线？曲线的定义连续点构成的一维图形可由方程表示的点集轨迹曲线的几何特征曲率反映弯曲程度切线表示瞬时变化方向特殊点揭示重要性质

平面直角坐标系回顾坐标轴x轴（横轴）水平方向y轴（纵轴）垂直方向原点坐标为(0,0)的特殊点x轴与y轴的交点点的表示有序数对(x,y)表示位置横纵坐标确定平面上唯一点

曲线方程的概念方程与曲线对应方程是曲线的代数表达1满足方程的点集所有解的几何表示2隐函数表示F(x,y)=0形式3显函数表示y=f(x)或x=g(y)形式4

第二章：直线方程1最简单曲线直线是最基本的几何元素2多种表示形式一般式、点斜式、斜截式等3应用广泛构建复杂几何模型的基础

直线的一般方程1一般式Ax+By+C=02系数含义A、B不同时为零3法向量(A,B)垂直于直线

直线的点斜式1过定点经过点(x?,y?)k斜率表示直线倾斜程度y-y?纵坐标差变化量x-x?横坐标差自变量变化

直线的斜截式应用最广泛形式y=kx+b形式直观易用斜率k表示直线的倾斜程度截距b直线与y轴交点的纵坐标

直线的两点式

直线方程的应用求交点联立方程组求解点到直线距离计算点与线间垂直距离平行与垂直利用斜率关系判断夹角计算基于斜率求两线夹角

第三章：圆的方程圆的定义到定点距离相等的点集数学表达标准方程与一般方程几何应用与其他图形关系分析

圆的标准方程原点为圆心x2+y2=r2一般圆心(x-a)2+(y-b)2=r2几何意义点到圆心距离等于半径

圆的一般方程一般形式x2+y2+Dx+Ey+F=0圆心坐标(-D/2,-E/2)半径r=√[(D2+E2)/4-F]

圆心与半径的确定1配方法将x项和y项分别配方2圆心确定计算(-D/2,-E/2)3半径计算应用公式r=√[(D2+E2)/4-F]4判断是否为圆检验(D2+E2)/4-F0

圆与直线的位置关系

圆的方程应用切线方程过圆外点P到圆的切线利用点到圆心距离与半径关系相切圆内切、外切圆的求解利用圆心距与半径关系圆束方程过定点的圆族形如S?+λS?=0

第四章：椭圆及其方程认识椭圆了解椭圆的定义与特点掌握标准方程熟悉不同形式的椭圆方程分析几何特征研究焦点、离心率等性质探索实际应用了解椭圆在工程中的价值

椭圆的定义点集定义平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹|PF?|+|PF?|=2a实际作图两端固定的绳索绷紧时画出轨迹

椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1y2/a2+x2/b2=1

椭圆的几何特征长轴与短轴长轴2a，短轴2b焦点F?(-c,0)，F?(c,0)，c2=a2-b2离心率e=c/a，0准线x=±a/e

椭圆的参数方程1参数表示x=acost,y=bsint2参数范围0≤t2π3几何意义t为辅助圆上对应点的幅角

椭圆的应用

第五章：双曲线及其方程定义理解点到两定点距离之差为常数方程掌握标准形式与变式特性分析渐近线、共轭双曲线应用探索在导航与物理学中的应用

双曲线的定义点集定义平面内到两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹||PF?|-|PF?||=2a分支特性由两个分离的分支组成每个分支包含一个焦点

双曲线的标准方程横轴双曲线x2/a2-y2/b2=1纵轴双曲线y2/a2-x2/b2=1参数关系c2=a2+b2，c为半焦距

双曲线的几何特征实轴长度为2a，连接顶点渐近线y=±(b/a)x曲线无限接近离心率e=c/a1，形状特征指标

双曲线的参数方程横轴双曲线x=asect,y=btant纵轴双曲线x=btant,y=asect参数范围-π/2tπ/2,π/2t3π/2

双曲线的应用LORAN导航利用双曲线定位船舶和飞机基于时间差测量原理核反应堆双曲抛物面冷却塔设计结构强度与散热效率兼顾天文观测彗星轨道常呈双曲线宇宙飞行器的引力弹弓效应

第六章：抛物线及其方程定义到定点与定直线距离相等的点集1方程标准形式与变形2性质顶点、焦点、准线等特征3应用光学与工程中的广泛应用4

抛物线的定义点集定义到定点(焦点)和定直线(准线)距离相等的点的轨迹|PF|=|PL|简单理解一束平行光线反射后汇聚于一点抛物面碟形天线的工作原理

抛物线的标准方程

抛物线的几何特征顶点曲线与对称轴交点焦点