双曲线及其标准方程_课件.ppt

双曲线的标准方程 一、回顾 1.椭圆的定义是什么？ 2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？ 定义 图象 方程 焦点 a.b.c的关系 y o x F1 F2 · · x y o F1 F2 · · x2 a2 + y2 b2 = 1 y2 x2 a2 + b2 = 1 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|） a2=b2+c2 （ab0,ac0,b与c大小 不确定) F1 ( -c,0) ,F2 (c,0) F1(0,- c),F2(0,c) 在x轴上 在y轴上 二、双曲线的定义 平面内与两定点F1`F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 2 1 椭圆：平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等 于常数2a( 2a大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a( 2a小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做双曲线。 这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。 共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。 区别： 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值。 x y o 求双曲线的标准方程 1.建系设点。 设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a F1 F2 M 2.由定义可知:|MF1|-|MF2|=±2a, 即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a _ cx-a2=± a √(x-c)2+y2 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) ∵c＞a0，∴c2 ＞a2 令c2-a2=b2 (b0) x2 a2 - b2 = 1 (其中c2=a2+b2) y2 我们称这个方程为双曲线的标准方程 F1 F2 y x o y2 a2 - x2 b2 = 1 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么? 想一想 比较 和 的异同之处。 两种不同类型的双曲线方程只是x的平方项与y的平方项系数有着不同的符号。 焦点F1(-c,0),F2(c,0)在x轴上, 焦点F1(0,-c),F2(0,c)在y轴上, B B1 x y . . 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 定义 ||MF1| － |MF2||=2 a ( 2a ＜|F1F2| ) 方程 图象 关系 c 2 = a 2 + b 2 A2 o A1 B2 A2 o B1 x A1 y 2 F1 F2 .F1 .F2 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F1（－5，0）、F2（5，0） 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6. 求双曲线的标准方程. 例2、求 双曲线 的焦点与焦距： 解：因为双曲线的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为： 解：由于a2=25，b2=144， ∵2a=6, 因此c2=169， c=13, 从方程看出，焦点在y轴上， 因此 焦点坐标为（0，-13）、（0，13）， 焦距为26。 ∴a=3. c=5 ∴b2=52－32=16 所以所求双曲线的标准方程为 求标准方程的关键是什么？ 1、中心、焦点位置定位； 2、a、b 定量。 位置、大小定标准方程 X型: Y型: 练一练: 求下列双曲线的焦点坐标及焦距: y2 9 - x2 16 = 1 (1) (2) x2 - y2 = 4 练习 P40 4 1（2）（4） 变、焦点在x轴的双曲线时，求焦点坐标 例3、如果方程 表示双曲线，求m的范围 解（m-1)(2-m)0，∴m2或m1 x2 y2 m-1 + 2-m = 1 B B1 x y . . 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 定义 ||MF1| － |MF2||=2 a ( 2a ＜|F1F2| ) 方程 图象 关系 c 2 = a 2 + b 2 A2 o A1 B2 A2 o B1 x A1 y 2 F1 F2 .F1 .F2 作业: P40 1 2（2）（3） 练习 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1） （2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）． 2．已知方程 表示双曲线，求m的取值范围． 例题：