空间的曲线及其方程.ppt

回顾 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 高等数学（下）主讲杨益民 数学模型 高等数学 北京工商大学杨益民 1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。 2. 表示一张球面。 3. 表示空间的一张平面。 4. yoz平面上的母线 绕oz轴旋转得旋转曲面 5. xoy平面上的准线方程 母线平行于 z 轴的 柱面方程为： 四、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。 目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。 即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。 （一）椭球面 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 或 绕z轴旋转而成。 球面 方程可写为 （二）抛物面 （p与q同号） （1）椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy (z=0) 去截； 设p与q都大于零。 （2）用平面 去截； （3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截； （4）用平面 去截； y o x z z x y o 椭圆抛物面的图形如下： x y z o 特殊地：当p=q时，方程变为 旋转抛物面 （2）双曲抛物面（马鞍面） ( p与q同号 ) 用截痕法讨论： 设 x z y o （三）双曲面 单叶双曲面 x y o z （1） z o x y . 双叶双曲面 x y o （2） x o y z 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线： 注意：空间曲线的曲线方程 不是唯一的。 第四节 空间曲线及其方程 C 例1 下列方程组表示怎样的曲线？ 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图。 空间曲线的参数方程 （2）消去参数t，可得到两个柱面方程，因此空间曲线的参数方程也可视为两张柱面的交线。 注：（1）随着参数t 的变化可得到曲线上的全部点(x, y, z)。 例3 设空间一动点M在圆柱面 上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升，试求该动点M运动的轨迹方程。 螺旋线的参数方程 取时间t为参数，动点M从A(a,0,0)点出发 解 经过t 时间，运动到M (x, y, z)处 在圆 上， 所以 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比， 即 上升的高度 螺距 P y z 0 x a t M N Q 螺距 三、空间曲线在坐标面上的投影 1. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面 C S C’ x y o z C’称为曲线C在xoy平面上的投影曲线。 S称为曲线C关于xoy平面的投影柱面 2. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面的方程 设空间曲线C的一般方程： 消去z得： 表示：以曲线C(或C’)为准线，母线平行于z轴的柱面——曲线C关于xoy平面的投影柱面。 表示：曲线C的投影柱面与xoy平面的交线——曲线C在xoy平面上的投影曲线。 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线 面上的投影曲线 如图:投影曲线的研究过程 空间曲线 投影曲线 投影柱面 例4 求曲线 在坐标面上的投影。 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 所以在xoz面上的投影为线段: （3）同理在yoz面上的投影也为线段: （2）因为曲线在平面 上， 截线方程为 解 x y z * * * *