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函数与极限 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结 思考题 三、空间曲线在坐标面上的投影 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结 * 返回 例1. x2+y2=1 2x+3z=6 表示怎样的曲线？ 例2. x2+y2+z2=R2 x2+y2=R2 z x y 0 例3 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 路边竖着一个圆柱形的大水泥管。有一只苍蝇停在上面。在苍蝇左下方爬着一只壁虎。壁虎一动也不动，两只眼睛盯住上面的苍蝇。为了不让苍蝇逃走，只见壁虎以最短的时间、最快的速度跑了过去，一口就把苍蝇咬住了。 ??? 试问壁虎在水泥管面上选择的是一条什么路线呢? 空间曲线——圆柱螺线 空间曲线——圆柱螺线 P 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面 y z 0 x a x = y = z = acosθ bθ M (x,y,z) asin θ θ M (x,y,z) N . （移动及转动都是等速进行，所以z与θ成正比。) 点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 消去变量z后得： 设空间曲线C的一般方程： 1 . y x z o 空间曲线在坐标面上的投影 z =0 . 1 y x z o 解 L . . . 消去z后得： 空间曲线在坐标面上的投影 . 由 投影柱面 消去变量z后得： 曲线C关于 的投影柱面 设空间曲线C的一般方程： 空间曲线C在 面上的投影曲线 z =0 . 1 y x z o 解 L . . . 消去z后得： 空间曲线在坐标面上的投影 . 由 投影柱面 类似地：可定义空间曲线C： 面上的投影曲线, 面上的投影曲线, 在其他坐标面上的投影: 空间曲线C在 面上的投影曲线 例1 求曲线 在xoy坐标面上的投影. 解 消去变量z后得 在 面上的投影为 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 关键是确立轮廓线 例2: 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影. 解: 半球面与锥面的交线为 由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1 y x z O x2 + y2 ? 1 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 ? 1 例2: 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影. 解: 半球面与锥面的交线为 由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1 y x z O x2 + y2 ? 1 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 ? 1 * *