2024_2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.2用二分法求方程的近似解学案新人教A版必修第一册.docx

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用二分法求方程的近似解

教材要点

要点用二分法求方程的近似解

1．二分法

对于在区间[a，b]上的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步靠近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤

第一步：确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0.

其次步：求区间（a，b）的中点c.

第三步：计算f（c），并进一步确定零点所在的区间．

（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；

（2）若f（a）·f（c）＜0，

则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））；

（3）若f（c）·f（b）＜0，

则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））.

第四步：推断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复其次步至第四步．

状元随笔二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断靠近的方法，找到零点旁边足够小的区间，依据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

基础自测

1.思索辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）用二分法可求全部函数零点的近似值．（）

（2）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．（）

（3）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．（）

（4）用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“靠近”思想逐步缩小零点所在的区间．（）

2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（）

3．用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（）

A．0.9B．0.7

C．0.5D．0.4

4．已知函数y＝f（x）在区间（2，4）上连续，验证f（2）·f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝2+42＝3，计算得f（2）·f（x1）＜0，则此时零点所在的区间为

题型1二分法的概念应用

例1（1）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）

（2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是Ｗ．

方法归纳

二分法的适用条件

推断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点旁边是连绵不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

跟踪训练1（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（）

A．f（x）＝3x－1B．f（x）＝x2－2x＋1

C．f（x）＝log4xD．f（x）＝ex－2

题型2用二分法求函数零点的近似值

例2用二分法求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．（精确度0.01）

方法归纳

（1）用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采纳估计值的方法完成）.

②取区间端点的平均数c，计算f（c），确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

（2）二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间，找中点，中值计算两边看．

同号丢，异号算，零点落在异号间．

重复做，何时止，精确度来把关口．

跟踪训练2依据下表，用二分法求函数f（x）＝x3－3x＋1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度为0.1）是（）

f（1）＝－1

f（2）＝3

f（1.5）＝－0.125

f（1.75）＝

1．109375

f（1.625）≈

0．41601563

f（1.5625）≈

0．12719727

A.1.75B．1.625

C．0.12719726D．1.5625

题型3用二分法求方程的近似解

例3用二分法求2x＋x＝4在区间（1，2）内的近似解（精确度0.2）.

参考数据：

x

1.125

1.25

1.375

1.5

1.625

1.75

1.875

2x

2.18

2.38

2.59

2.83

3.08

3.36

3.67

方法归纳

用二分法求方程的近似解的方法

对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点的近似值，然后依据用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．

跟踪训练3用二分法求函数f（x）＝3x－x－4