专题20：等差数列-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）.docx
专题20：等差数列
精讲温故知新
一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
常数列：各项相等的数列．
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
例：1．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（???????）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前项和为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，从而，即可求出，继而可得，利用裂项求和求得答案.
【详解】
由，得：，
即，则，
故是首项为，公差为1的等差数列，
故，所以，
故，
所以数列的前项和为，
故答案为：
举一反三
1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出数列的周期，结合周期性可求得的值.
【详解】
由已知可得，，，，，
以此类推可知，对任意的，，
，所以，.
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】
解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．
通项公式特点：
是数列成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列
4、等差数列的基本性质
（1）。
（2）
（3）
5、等差数列的前项和的公式
公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．
公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前项和的性质：
=1\*GB3①若项数为，则，且，．
=2\*GB3②若项数为，则，且，
（其中，）．
=3\*GB3③，，成等差数列．
6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
=1\*GB3①定义法：是等差数列
=2\*GB3②中项法：是等差数列
=3\*GB3③通项公式法：是等差数列
=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列
题型一：等差数列及其通项公式
例1：1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
转化条件为，即可得解.
【详解】
由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为