专题22：常见数列的通项求法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）.docx
专题22：常见数列的通项求法
精讲温故知新
知能要点
1、求通项公式的方法：
(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；
(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(?n＝1?，,?n≥2?；))
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；
(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；
(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．
一，观察法求通项
例1：（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）数列，，，，，，的一个通项公式为（???????）
A． B．
C． D．
举一反三
（2022·陕西咸阳·三模（文））观察下列等式
照此规律，第n个等式为______．
二，公式法求通项
1、等差数列公式
推论公式：
例2：（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（???????）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
举一反三
1．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
等比数列公式
推论公式：
例3：（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（???????）
A．14 B．12 C．6 D．3
举一反三
（2022·上海交大附中模拟预测）已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为___________．
三：累加法求通项
（
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例4：（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（???????）
A．30 B．31 C．22 D．23
举一反三
（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））数列中，，则__________.
四．（累乘法）
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例5：（2022·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
举一反三
（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
五、构造等比数列
(其中p，q均为常数，且)。
例6：（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
举一反三
（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知数列的前n项和为，且，若，则m的最小值是______.
六、构造等差数列
例7：（2022·湖北·高三三模）已知数列满足，（）.
求证数列为等差数列；
举一反三
（2021·重庆一中模拟预测）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
七．递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用
例8：（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（???????）
A． B． C． D．
举一反三
1.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且满足，则______
2.（2022·山西·太原五中二模（文））已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
八、倒数法
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例9：（2021·全国·模拟预测（文））已知数列满足，，则（???????）
A． B． C． D．
举一反三
数列中，，，求.
九、对数法
例10：若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.
前n项积求通项
例11：（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则=（???????）
A． B． C． D．
举一反三
（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（???????）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
精练巩固提升
一、单选题
1．（2022·云南曲靖·二模（文））设是数列的前n项和，若，则（???????）
A．4045 B．4043 C．4041 D．2021
2．（2019·河北·石家庄二中模拟预测（理））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文