1.2.2等差数列的前n项和 第2课时 等差数列习题课 (1).pptx
§2.2等差数列的前n项和第2课时等差数列习题课
高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)德国数学家、物理学家、天文学家.1777年4月30日生于不伦瑞克,1855年2月23日卒于格丁根.高斯是近代数学的奠基者之一.与阿基米德、牛顿号称“三大数学大师”,并享有“数学王子”的美誉!他幼年时就表现出超人的数学天赋.情境导入
上一节课我们已经学习了高斯关于1+2+…+100=?的算法,本节课我们将继续研究等差数列的有关性质及其应用!
1.巩固等差数列的前n项和公式.2.等差数列前n项和的最值问题解法.3.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.课标要求
1.数学运算:公式巩固.2.逻辑推理、数学建模:求前n项和最值,求解相关问题.素养要求
探究点1等差数列的前n项和公式如图1-14,有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列:1,2,3,…设共堆放了n层,能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则Sn=l+2+3+???+n,这是一个等差数列的求和问题.如何计算该等差数列的和呢?探究导学
1.等差数列定义:an-an-1=d(d为常数)(n≥2).3.等差数列的通项变形公式:an=am+(n-m)d.2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d.等差数列的性质
4.数列{an}为等差数列,则通项公式an=pn+q(p,q是常数),反之亦然.
11.性质:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.联系:an=a1+(n-1)d的图象是相应直线上一群孤立的点,它的最值又是怎样?由d的正负决定
等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.【解析】在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,即30,70,S3m-100成等差数列,故2×70=30+(S3m-100),S3m=210.【即时练习】
?解题关键由通项公式an=2n+3易知,该数列为等差数列.
?解题关键每栽种一棵树所走的路程构成一个等差数列.例9在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多少路程?
解题关键每一辆车工作的小时数构成一个等差数列,求25辆车的总的小时数,再和需要的总的小时数作比较.例10某抗洪指挥部接到预报,24h后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从高速公路沿线抽调,每隔20mim能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24h内能否构筑成第二道防线?
?
一般地,如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?分析:因为当n1时,当n=1时,a1=S1=p+q+r,又因为当n=1时,a1=2p-p+q=p+q,所以当且仅当r=0时,a1满足an=2pn-p+q.an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q.探究点2等差数列的前n项和与二次函数的关系
数列{an}为等差数列故只有当r=0时该数列才是等差数列,此时首项a1=p+q,公差d=2p(p≠0).
等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系定义域为N*联系Sn图象是一系列孤立的点.区别 f(x)定义域为R图象是一条光滑的抛物线.①解析式都是二次式;②Sn的图象是抛物线y=f(x)上的一系列孤立点.
【即时练习】
(1)当a1>0,d<0,前n项和有最大值.可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0,前n项和有最小值.可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法:(2)由取最值时n的值.,利用二次函数配方法求得【规律总结】
设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则()A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S5B【变式练习】
C课堂评价
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D