线性代数矩阵的初等变换和初等矩阵.ppt

* * 2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 一、矩阵的初等变换 对矩阵施以下列3种变换 （3）交换矩阵的两行（列）； （1）用一个非零的数c乘矩阵的某一行（列）； （2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）。 称为矩阵的初等行(列)变换。 倍乘变换 倍加变换 对换变换 统称为矩阵的初等变换 . 二、初等矩阵 (1) 初等倍乘矩阵 定义2.15 将单位矩阵做一次初等变换所得的 矩阵称为初等矩阵 将单位矩阵的第 i行（列）乘以非 零数c而得到； －－－有三种形式 . （2）初等倍加矩阵 将单位矩阵的第i行乘以c加到第j行得到； 注意下标 . （3）初等对换矩阵 将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到； . 三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵 的乘积： . 据例1可知, 初等矩阵左乘A,C----相当于是对A,C做相应的初等行变换 初等矩阵右乘B----相当于是对B做对应的初等列变换 一般地有如下结论： 对换位置; 对换位置; 左乘--行变换;右乘—列变换. . 四、初等矩阵的基本性质 （1）初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵也是 初等矩阵。 （2）初等矩阵的转置仍是初等矩阵。 所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵. . 例2 设初等矩阵 试求 解 . . 五、用初等变换求逆矩阵 定义 如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则 称矩阵A与B等价。 定理 的矩阵等价。 . 例2 化A为D的形式： 解 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 . 定理 A为n阶可逆矩阵 它能表示成一些初等矩阵的乘积。 n阶可逆矩阵A与I等价。 证明 因为A可逆， 则经过若干次初等变换可化为I, 即 使 所以 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。 . 设 可逆， 使 所以 求逆矩阵的方法： . 求逆矩阵的方法： . 复习 例4 用初等行变换法 求A的逆矩阵 解 0 -3 -8 0 -2 1 ** . 所以 . 注意 1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换 2 变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆 . 小结 A可表示为一些初等矩阵的乘积。 求逆矩阵的方法： (2)、求伴随矩阵.（阶数较低）(公式法) (1)、由AB=I或BA=I.(待定系数法)(定义法) (3)、初等变换的方法(初等变换法) (4)、分块矩阵的方法 . 求逆矩阵的方法： . 复习 注意 1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换 2 变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆 . 证明 因为A可逆， 所以 由 得 所以 . 例 解 例 . *