线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵.pptx
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
Contents
目录
矩阵的初等变换
初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵的应用
矩阵的初等变换与初等矩阵的性质
习题与解答
矩阵的初等变换
交换矩阵的行是一种初等变换，通过交换两行的位置，矩阵的秩不会改变。
总结词
交换矩阵的两行，即$R_i$和$R_j$（$ineqj$），相当于对矩阵进行如下操作：将第$i$行和第$j$行互换，其他行保持不变。这种变换称为行交换。
详细描述
用常数乘以矩阵的一行是一种初等变换，通过乘以一个非零常数，矩阵的秩不会改变。
将矩阵的第$i$行乘以一个非零常数$k$，即将第$i$行的每个元素都乘以$k$，其他行保持不变。这种变换称为行倍乘。
详细描述
总结词
总结词
用常数乘以矩阵的一列是一种初等变换，通过乘以一个非零常数，矩阵的秩不会改变。
详细描述
将矩阵的第$j$列（或第$j$个元素）乘以一个非零常数$k$，即将第$j$列（或第$j$个元素）的每个元素都乘以$k$，这种变换称为列倍乘。
总结词
矩阵的倍加变换是将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个常数后加到另一行（或另一列）上，这种变换不会改变矩阵的秩。
详细描述
设矩阵的第$i$行（或第$i$列）为“倍加”行（或列），将该行的每个元素乘以一个非零常数$k$后加到第$j$行（或第$j$列）上，其他行（或列）保持不变。这种变换称为倍加变换。
初等矩阵
1
2
3
单位矩阵是方阵，其左上角到右下角的对角线上的元素为1，其余元素为0。
定义
单位矩阵乘以任何矩阵都等于该矩阵本身，即E*A=A*E=A。
性质
在矩阵运算中，单位矩阵常常作为恒等变换使用，表示不改变原矩阵。
应用
负单位矩阵是单位矩阵的元素取反得到的矩阵，即主对角线上的元素为-1，其余元素为0。
定义
负单位矩阵乘以任何矩阵，相当于该矩阵的每个元素取相反数。
性质
在矩阵运算中，负单位矩阵常用于实现矩阵的元素取反的变换。
应用
转置矩阵是将原矩阵的行变为列得到的矩阵。
定义
性质
应用
转置矩阵的行和列对应原矩阵的列和行，即如果原矩阵是A，则其转置矩阵记作AT。
转置矩阵常用于表示矩阵的行变换操作，例如将矩阵的行交换或行倍乘等。
03
02
01
矩阵的初等变换与初等矩阵的应用
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位矩阵，同时记录下每一步的变换，最后得到的逆矩阵即为所求。
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通过计算伴随矩阵的元素，得到逆矩阵的元素。
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|，定义为所有取自不同行不同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，同时记录下每一步的变换，最后得到的行列式即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对应元素的代数余子式的乘积，代数余子式是去掉某一元素所在的行和列后得到的行列式的值乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素所在的行号和列号。
矩阵的初等变换与初等矩阵的性质
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且$(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵。
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$，则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列）后得到矩阵B，则$det(A)=-det(B)$。
某行（列）乘以常数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以常数k后得到矩阵B，则$det(A)=k*det(B)$。
某行（列）加到另一行（列）
如果矩阵A经过某行（列）加到另一行（列）后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
03
02
01
习题与解答
VS
如果矩阵A经过一系列初等行变换得到矩阵B，则A与B等价。
选择题
矩阵A经过一系列初等列变换得到矩阵B，则以下说法正确的是？
判断题
A与B等价
A与B合同
A与B相似
给定矩阵A，求通过初等行变换将A变为单位矩阵的方法。
计算题
简述初等行变换和初等列变换的性质和作用。
简答题
1
2
3
计算题：可以通过以下步骤求解
1.将矩阵A的每一行都除以该行的第一个元素（如果该元素为0，则可以省略此步骤）；
2.将得到的矩阵的每一行的第一个元素变为1；
初等行变换和初等列变换的性质和作用包括
简答题
初等行变换和初等列变换都不改变矩阵的秩；
性质
通过初等行变换和初等列变换可以将一个矩阵变为单位矩阵，从而得到该矩阵的逆矩阵或解线性方程组。
作用
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03
THANKS