线性代数课件-逆矩阵与矩阵的初等变换.pptx

第三节逆矩阵与矩阵的初等变换

则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，（或称的逆）；在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得

二、逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设

说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即

例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法

又因为所以

定理1矩阵可逆的充要条件是，且证明若可逆，

按逆矩阵的定义得证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

推论证明逆矩阵的运算性质

证明

证明

例1求方阵的逆矩阵.三、逆矩阵的求法解

同理可得故

例3设解

于是

0102030405设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念

AB的系数行列式不等于零，即如果线性方程组一、克拉默法则

那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即

AX=b证明：

比较等式两端得：

01例：用克拉默法则解方程组02解

下面三种变换称为矩阵的初等行变换:定义1矩阵的初等变换

定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．01初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换0602030405

对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是互换E的i，j两行(两列)所得之矩阵

（2）

引理：对矩阵施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左（右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。

这里把矩阵的初等变换归纳为用某些初等矩阵左乘或右乘该矩阵，这对于简化矩阵乘法运算及研讨矩阵的某些性质都很有用．下面介绍用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法．不难证明，若A是一个n阶可逆矩阵，则必可经一系列初等行变换将A化成单位矩阵。这就相当于用一系列初等矩阵F1,F2,…左乘A后得到单位矩阵En。即

定理：可逆矩阵必可表为若干个初等矩阵的乘积．