线性代数讲矩阵的初等变换.ppt

第四讲 矩阵的初等变换 上页 下页 铃 结束 返回 补充例题 首页 上页 下页 返回 引例 首页 结束 铃 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算? 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用? ??? ??? ①?② ①?② 1.引例 在解线性方程组的过程中? 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程? 这种变换过程称为同解变换? 同解变换有? 交换两个方程的位置? 把某个方程乘以一个非零数? 某个方程的非零倍加到另一个方程上? 显然? 交换B的第1行与第2行即得B1? 增广矩阵的比较? 例如 下页 ??? ??? ③?2 ③?2 显然? 把B的第3行乘以(1/2)即得B2? 1.引例 在解线性方程组的过程中? 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程? 这种变换过程称为同解变换? 同解变换有? 交换两个方程的位置? 把某个方程乘以一个非零数? 某个方程的非零倍加到另一个方程上? 例如 增广矩阵的比较? 下页 ??? ??? ①?2② ①?2② 显然? 把B的第2行乘以(?2)加到第1行即得B3? 1.引例 在解线性方程组的过程中? 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程? 这种变换过程称为同解变换? 同解变换有? 交换两个方程的位置? 把某个方程乘以一个非零数? 某个方程的非零倍加到另一个方程上? 例如 增广矩阵的比较? 下页 线性方程组与其增广矩阵相互对应? 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换? 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上? 就得到矩阵的三种初等变换? 1.引例 在解线性方程组的过程中? 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程? 这种变换过程称为同解变换? 同解变换有? 交换两个方程的位置? 把某个方程乘以一个非零数? 某个方程的非零倍加到另一个方程上? 下页 定义5.1 矩阵的初等行(列)变换? (i)对调两行(列)? (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素? (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去? 2.矩阵的初等变换 这三种变换都是可逆的? 且其逆变换是同一类型的初等变换? 例如? 变换krj+ri的逆变换为 (?k)rj+ ri ? ri?rj(ci?cj)对调i? j两行(列)? ri?k(ci?k)表示第i行(列)乘非零数k? krj+ri (kcj+ci)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上? 初等变换的符号 下页 定义5.1 矩阵的初等行(列)变换? (i)对调两行(列)?——换法变换 (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素?——倍法变换 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去?——消法变换 矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B? 就称矩阵A与B等价? 记作 A ~ B? 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B? 就称矩阵A与B行等价? 记作 A ~ B? r 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B? 就称矩阵A与B列等价? 记作 A ~ B? c 等价关系的性质 (i)反身性 A~A? (ii)对称性 若A~B? 则B~A? (iii)传递性 若A~B? B~C? 则A~C ? 下页