讲无穷小量与极限求法.ppt

无穷小量与无穷大量 求极限的常用方法 闭区间上连续函数的零点定理 * 第4讲 无穷小量与极限求法 ─古代庄子《天下篇》 公元前四世纪 “一尺之椎，日截其半，万世不竭” ─古代庄子《天下篇》 公元前四世纪 “一尺之椎，日截其半，万世不竭” 一、无穷小量与无穷大量 极限为零的量叫做无穷小量 例如 故 当n→∞时， 是无穷小量； 例如 故 当x→0时，sinx是无穷小量； 极限为零的量叫做无穷小量 若 则 故 α=f (x)-A 是无穷小量, 或 f (x) = A +无穷小量α. 极限为零的量称为无穷小量 若α、β是无穷小量，则 α＋β，α－β，αβ 也都是是无穷小量。 但是 不一定 极限为零的量称为无穷小量 若α、β是无穷小量，则 如果 则称α是关于β的高阶无穷小，记为： α=o(β) 例1 α=x3，β=x2。 则 当x→0时，x3=o(x2) 例2 α=sin3x，β=x2。 则 当x→0时，sin3x=o(x2) 例3 当x→∞时, 故 β(x)是α(x)的高阶无穷小，β(x)=o(α(x)) 如果 (非零常数) 则称α与β是同阶无穷小. 例4 故 当x→0时，1-cosx与x2是同阶无穷小， 特别地 时 则称α与β是等价无穷小. 记为α～β。 例如 sinx ～ x （当x→0时） 因为 若 当x→a 或∞时， | f (x) | 无限增大，则称 f (x) 为无穷大量，记为 无穷大量是没有极限的量，这里只是借用极限的符号。 例如 设α(x)是无穷小量，它的取值不为0 ，则 “连续”的等价形式 令x=x0+△x ，则x→x0， △x →0 再记△y=f (x0+ △x )-f (x0） 则 即 一、无穷小量与无穷大量 二、求极限的一些方法 1、利用连续性 例5 （注： ） 2、恒等变形 例6 =3 例7 =2 例8 (分子分母同除以x3) 例9 =1 3、利用已知极限 等 例10 令arcsinx=u , 则sinu=x , 原式 *