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函数极限与无穷小

极限的定义函数极限当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于某个常数，这个常数就叫做函数在这个点的极限。无穷小当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于零，这个函数就叫做无穷小。

极限的性质唯一性如果函数的极限存在，那么这个极限是唯一的。有界性如果函数的极限存在，那么函数在极限点附近一定是有界的。保号性如果函数在极限点附近取正值，那么它的极限也是正值。

无穷小的定义当自变量趋于某个确定的值或无穷大时，如果函数的值无限接近于零，那么这个函数就称为无穷小.无穷小是函数的极限，当自变量趋于某个确定的值或无穷大时，函数的极限为零.无穷小是一个动态的概念，它指的是函数的值随着自变量的改变而无限接近于零.

无穷小的性质加减性两个无穷小之和或差仍为无穷小。乘积性无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。商性当分母不为零且有界时，无穷小与有界函数的商仍为无穷小。

极限与无穷小的关系1无穷小是极限为零的函数当自变量趋于某个值时，函数的值无限接近于零，则该函数称为无穷小。2极限为零的函数一定是无穷小任何一个函数如果它的极限为零，那么它就一定是无穷小。3无穷小是极限的特殊情况无穷小是极限的一种特殊情况，它指的是函数的值趋于零的极限。

极限的计算方法利用定义求极限直接根据极限的定义来求极限。该方法适用于一些简单的极限问题。利用定理求极限利用已知的极限定理来求极限，例如极限的四则运算定理、夹逼定理等。利用换元法求极限将原极限转化为更易于计算的极限，例如将无穷大极限转化为有限值极限。利用洛必达法则求极限对于一些特殊的极限问题，例如分式函数的极限，可以利用洛必达法则来简化计算。

利用定义求极限1ε-δ定义精确地描述函数极限2步骤设定ε,求δ,验证3应用证明极限存在

利用定理求极限1极限存在定理如果limf(x)=A,且limg(x)=B，则lim[f(x)+g(x)]=A+B.2极限运算法则极限可以进行加减乘除运算，且运算结果仍然是极限值。3夹逼定理如果f(x)≤g(x)≤h(x)，且limf(x)=limh(x)=A，则limg(x)=A。

利用换元法求极限1表达式转化将原极限表达式中的自变量或函数用新的变量或函数替换2新极限计算求解新的极限表达式，通常是已知的或更容易计算的3结果转换将新极限的结果转换回原变量，得到原极限的结果换元法是求解极限的常用方法之一，它可以将复杂的极限表达式转化为更简单的表达式。换元法通常用于处理包含三角函数、对数函数、指数函数等复杂函数的极限表达式。

利用洛必达法则求极限1条件当函数满足极限为0/0或∞/∞的形式时，可以使用洛必达法则。2过程对分子和分母分别求导，并求新的极限。如果新的极限存在，则原极限也存在，且等于新的极限。3应用洛必达法则可以用于解决许多难以直接计算的极限问题，例如含有指数函数、对数函数、三角函数等的极限。

单侧极限1左侧极限当x趋近于a的左侧时，函数f(x)无限接近于某个常数A，则称A为f(x)在x趋近于a的左侧的极限，记作lim(x-a-)f(x)=A。2右侧极限当x趋近于a的右侧时，函数f(x)无限接近于某个常数B，则称B为f(x)在x趋近于a的右侧的极限，记作lim(x-a+)f(x)=B。

两个函数的极限比较比较大小若两个函数在某个点处都有极限，则可以比较它们的极限大小。比较增长速度若两个函数在某个点处都趋于无穷大，则可以比较它们的增长速度。

无穷小的比较定义如果两个无穷小α(x)和β(x)满足lim(x→a)α(x)/β(x)=0，则称α(x)是比β(x)高阶的无穷小，记作α(x)=o(β(x))。性质如果α(x)=o(β(x))，则有：lim(x→a)α(x)/β(x)=0；如果α(x)=o(β(x))且β(x)=o(γ(x))，则α(x)=o(γ(x))；如果α(x)=o(β(x))，则对于任意常数k，kα(x)=o(β(x))。

高阶无穷小定义设α(x)和β(x)是当x→a时的无穷小，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0，则称α(x)是比β(x)高阶的无穷小，记作α(x)=o(β(x))(x→a)。解释当x趋近于a时，α(x)趋近于0的速度比β(x)趋近于0的速度快很多。性质若α(x)=o(β(x))(x→a)，则α(x)β(x)=o(β2(x))(x→a)若α(x)=o(β(x))(x→a)，且γ(x)为有界函数，则α(x)γ(x)=o(β(x))(x→a)

等价无穷小定义当自变量趋于某个值时，如果两个无穷小的比值的极限为1，则称这两个无穷小是等价无穷小。性质等价无穷小可以互相替换，在求极限时可以简