第四节函数的极限重要极限无穷大及无穷小.ppt

例2 解 一般地 例3 求 解一 解二 例 4 求 解 例5 解 解 解 解 练习 解. 解. 4. 思考题 * 第四节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质和计算 三、无穷小量与无穷大量 四、小结与思考判断题 一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形： 函数的极限六种存在形式 即函数极限的两种主要形式如下 1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变化过程为 仿照数列极限的定义，给出 时函数的极限的定义. 则 讨论单侧极限 2 函数值无限接近于2. 函数值无限接近于2. 左极限 右极限 记作 左右极限存在但不相等, 例1 证 结论： 小结 注：分段函数分点处的极限， 要分 别求左极限和右极限. 证明函数极限不存在的方法是: (1)证明左极限与右极限至少有一个不存在； (2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等。 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量 表示 及 ， 对正数 ， 表示 及 . 定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作 另两种情形: 结论： 二、函数极限的性质 1.局部有界性 定理 若在某个过程下 , ) ( x f 有极限 , 则存在 过程的一个时刻 , 在此时刻以后 ) ( x f 有界 . 定理 , 2.唯一性 若 ) ( lim x f 存在 则极限唯一 . 定理(保号性) 推论 3.局部保号性 定理1 极限的四则运算法则 三、极限的运算法则 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 推论3 数,则 定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到 或 以及（3）中的某些情形： （1）当　　　　时，而　　　　时， （2）当　　　　时，而　　　　时， （3）当　　　　时，而　　　　时， （4）当　　　　时，而　　　　时， （5）当　　　　时，而　　　　时， . , 0 ) ( 0 则商的法则不能应用．可用推广的 若 = x Q 公式求． 例1　求 解 当　　　时，分子、分母的极限都为零，此时 不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约 去无穷小因子的方法将函数变形后求极限 例2 求极限 解 当　　　　时，分子分母都趋于无穷大， 用无穷大因子　去除分子分母，然后再求极限． 解：原式 例3 求 解: 原式 又例 : 求 极限存在准则 四、两个重要极限 (1) 注 此结论可推广到 注意： 解 例 2 求 x x x 3 sin lim 0 ? 解 x x x 3 sin lim 0 ? 解 例4 解 解 当 ￥ ? n 时 , 因此 例6 , 有 例5 求 解 例7 求 解 于是 练习 解 (2) 利用数列公式 用变量代换可求出 此结论可推广到 注 注意： 例 1 解