同济第三版-高数-(1.4) 第四节 无穷小与无穷大同济第三版-高数-.ppt

中国药科大学 数学教研室 杨访;;(2) 无穷小的定义 ;(3) 无穷小举例 ;例：根据定义证明：当 x → 3 时， 是无穷小。 按定义证明当 x → 3 时，给定函 数是无穷小，就是对任意给定的正数 ? ， 要设法说明存在正数 ? ，使得当 0 | x - 3| ? 时有 要说明这样的 ? 存在，最直接的办 法就是将 ? 找出来。为确定 ? 的值，关 键是导出关系式 ;; 无穷小的重要性在于它与函数极限有着密切关系， 这种关系对函数极限的讨论具有重要意义。同时，无穷 小又具有简单的运算性质，利用这些性质可方便地讨论 函数极限的运算性质。 在自变量的某个变化过程中，函数 f( x )有极限 A 的充分必要条件是 f( x )= A + ?( x )，其中?( x )是同一 变化过程中的无穷小。; 就 x → x 0 的情形证明。 设 ，要证 f( x )= A + ?( x )，其中 因为 ，故对 ? ? 0，存在 ? 0，使得 当 0 | x - x 0| ? 时，| f( x )- A | ? . 令：?( x )=| f( x )- A |，则由极限定义有 且有 f( x )= A + ?( x ).;· 充分性 ;(2) 无穷小的代数运算性质 ;; ;定理 3;; 若 ?( x )当 x → x 0 时为无穷小，u( x )在 x = x 0 的邻域 内有界，则 u( x )??( x )当 x → x 0 时为无穷小。;; 若 ?( x )当 x → ? 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )??( x )当 x → ? 时为无穷小。;例：证明函数 是 x → 0 时的无穷小。 因为 函数 在点 x 0 = 0 的邻域内有界。 由为无穷小性质知， 函数 当 x → 0 时为无穷小。;;例：证明函数 是 x → ? 时的无穷小。 因为 ?u( x )?=?arctan x? 2 即 u( x )= arctan x 有界。 由为无穷小性质知， 函数 当 x → ? 时为无穷小。;; 由于常数是自变量任意趋向下的有界函数，因此常 数与无穷小的乘积是对应于该无穷小的自变量趋向下的 无穷小。 由于无穷小总是自变量一定趋向下的有界函数，因 此两个无穷小的乘积是无穷小。由归纳法原理，有限个 无穷小的乘积也是无穷小。 需注意的是，推论 2 只能推广到有限个无穷小的情 形，即无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小。;例：两个无穷小的商是否一定是无穷小？试举例说明。 两个无穷小的商就是在自变 量的同一趋向下的两个无穷小之比。 由无穷小的性质知，常数与无穷小的 乘积是无穷小。因此，只要两个无穷 小成比例，且比值不为零，即 lim?( x )= 0， lim ?( x )= 0， ?( x )/?( x )= k， 则两个无穷小的商就不会是无穷小。 由此可推断，两个无穷小的商不一定是无穷小。;例：考虑极限 因为 由此可以推断应有 并考虑用定义证之。 对任意给定的正数 ? ，要使 只需取 ? = ? ，则当 0 | x - 3| ? 时有 由极限的定义知;(1) 无穷大的概念 ;(2) 无穷大的定义 ; 设函数 f( x )在 | x |大于某正数时有定义，如果对 任意给定的正数 M (无论它多么大)，总存在正数 X ， 使得对于适合不等式 | x | X 的一切 x ，对应的函数值 f( x )都满足不等式 | f( x )| M ， 那么就称函数 f( x )当 x → ? 时 为无穷大，记作：;例：根据定义证明：当 x → 0 时， 是无穷大。 又问， x 只要满足什么条件，就能使 ? y ?10 4 ？