《高数无穷大无穷小》课件.ppt

《高数无穷大无穷小》高数中的无穷大和无穷小是两个重要的概念，它们是微积分的基础

课程简介课程目标帮助学生掌握高等数学的基本概念和方法，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。课程内容涵盖极限、连续、导数、积分等核心概念，并介绍其在不同领域的应用。学习方法课堂学习、课后练习，以及积极参与讨论，提升对概念的理解和应用能力。课程价值高等数学是理工科专业的核心课程，为后续专业学习打下坚实基础。

第一章集合论基础集合论是数学的基础，提供数学研究的语言和工具。本章将介绍集合的概念、运算、以及无限集合。

集合的概念1定义集合是由一些确定的、不同的对象所构成的整体。2元素集合中的对象被称为元素，每个元素都是唯一的。3表示方法集合可以用列举法、描述法、图形法等方式表示。4分类集合可分为有限集合和无限集合，空集合是不包含任何元素的集合。

集合的运算并集并集包含所有属于至少一个集合的元素。A∪B={x|x∈A或x∈B}交集交集包含所有属于两个集合的元素。A∩B={x|x∈A且x∈B}差集差集包含所有属于第一个集合但不属于第二个集合的元素。A-B={x|x∈A且x∈B}补集补集包含所有不属于指定集合的元素。A={x|x?A}

无限集合无穷大集合元素无限多个。宇宙无限广阔，包含无数星系，展现无限集合的概念。可数无限集合元素可以和自然数一一对应，比如沙滩上的沙子，可以和自然数一一对应。不可数无限集合元素无法与自然数一一对应，比如星空中的繁星，无法与自然数一一对应。

第二章极限概念极限是高等数学中最重要的概念之一，是微积分的基础。本章主要介绍数列极限、函数极限、极限的性质及计算等。

序列极限数列极限序列极限是指当序列项趋于无穷大时，序列的极限值。ε-δ定义使用ε-δ定义来精确描述序列极限的概念。收敛序列收敛序列是指其极限值存在的序列。发散序列发散序列是指其极限值不存在的序列。

函数极限函数极限函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在自变量趋近于某一点时函数值的趋近情况。极限值当自变量趋近于某一点时，如果函数值趋近于一个确定的值，这个值就叫做函数在该点的极限值。极限存在的条件函数极限存在需要满足一定的条件，例如左右极限相等等。计算方法常用的计算函数极限的方法包括利用极限的性质、利用洛必达法则等。

极限性质及计算极限性质极限具有许多性质，例如：极限的唯一性、极限的保号性、极限的加减乘除运算等。极限计算常用的极限计算方法包括：直接代入法、因式分解法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。常见极限一些常见的极限需要熟记，例如：无穷小的阶、重要极限等。

第三章连续函数连续函数是微积分中重要的概念。本章将深入探讨连续函数的定义、性质和应用。

连续性的概念在数学中，连续性是指函数图形没有间断或跳跃。直观地，当自变量在某个范围内变化时，函数的值也随着变化而连续变化。ε-δ定义对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量x与x0之间的距离小于δ时，函数值f(x)与f(x0)之间的距离小于ε。这个定义描述了函数在某点附近的邻域内的变化情况。

初等函数的连续性多项式函数多项式函数在整个实数范围内连续。这意味着函数在该范围内没有间断点，图形平滑流畅。三角函数三角函数在定义域内连续。例如，正弦函数和余弦函数在所有实数范围内连续。指数函数指数函数在整个实数范围内连续。指数函数的图形平滑且不断上升或下降，没有间断点。对数函数对数函数在其定义域内连续，即定义域为所有正实数。对数函数的图形通常呈曲线形状，无间断点。

连续函数的运算加减法两个连续函数的和差仍然是连续函数。乘除法两个连续函数的积商也是连续函数，除数不为零。复合函数若函数f(x)和g(x)分别在其定义域内连续，则复合函数f(g(x))也是连续函数。

第四章导数概念导数是微积分中的核心概念之一，它反映了函数在某一点的变化率。导数的引入为我们提供了研究函数变化规律的强大工具，为解决实际问题提供了新的视角。

导数的定义变化率导数是函数在某一点的瞬时变化率。它表示函数值随自变量变化的速率。切线斜率导数也是函数图像在某一点的切线的斜率。它反映了函数在该点的变化方向和速率。极限概念导数是通过极限的概念定义的。它是函数增量与自变量增量之比的极限值。

导数的几何意义切线斜率导数在某一点的值等于该点切线的斜率。这表明了函数在该点的变化率。瞬时变化率导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，这在物理学和工程学中非常有用。

求导公式1基本函数例如，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等。2求导法则包括加减法法则、乘法法则、除法法则、复合函数求导法则等。3隐函数求导对于隐式表示的函数，需要使用隐函数求导