无穷小与无穷大课件.doc

第四节 无穷小与无穷大 教学目的：1. 使学生理解无穷小的概念及性质； 2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系; 3. 掌握无穷小的比较方法. 教学过程: 一、复习函数极限的定义及性质 二、讲解新课 1.3 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 定义 例如, 注意 （1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。 例：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。 （1） （2） （3） （4） 2、无穷小与函数极限的关系 证：必要性 充分性 例：当时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。 3、无穷小的运算性质: 注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 求下列极限 解：因为=0，而即sinx有界, 由无穷小性质 得原式=0 解：0 ∴ 原式=0 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 例如： 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大. 分析： （1）取 无界， 不是无穷大。 三、无穷小与无穷大的关系 意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 例1 解： 由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式= 例2 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小。 解：因为时，，所以时，是无穷小； 因为时，，所以时，是无穷大； 解：因为时，，所以时，是无穷小 因为时，，所以时，是无穷大 解：因为时，，所以时，是正无穷大 因为时，，所以时，是无穷小 练习 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小 四、无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小 性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小 性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小 例1 解：因为 时， x为无穷小, 为有界函数, 由性质2，得到 。 练习4：利用无穷小的性质,求下列函数的极限 五、无穷小的比较 定义　设(和(是同一变化过程中的两个无穷小，即lim (=0和lim(=0 (１) 如果，那么称(是(的高阶无穷小； (２) 如果，那么称(是(的低阶无穷小； (３) 如果，那么称(是(的同阶无穷小； 特别是当c=1时，即当时，则称(与(是等价无穷小,记作： (((。 例1 选择题 （1）当时，变量是变量的（ ） [A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小 解：, （2）当时，变量是变量的（ ） [A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小 解： ， 【补充】等价无穷小代换 定理(等价无穷小代换定理) 常用等价无穷小: 例1 解： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 解 注意 不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 例3 错解 （） 解： 若在自变量的某一变化过程中，函数的极限为零，则把函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为无穷小. 定理1 其中是当时的无穷小. 性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定义2 若在自变量x的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数当(或)时为无穷大,记作 定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大