无穷小无穷大-极限运算法则.ppt

第四节 一、 无穷小 定义1. 若 定理 1 (P39) . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 注意(P40): 例 2 (P40). 证明 三、无穷小与无穷大的关系 内容小结 第五节 一、 无穷小运算法则 定理2 (P43) . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1 (P48例8). 求 二、 极限的四则运算法则 定理4 (P45) . 若 例3 (P46). 设有分式函数 例4 (P47) . 求 例5 . 求 一般有如下结果(P48)： 三、 复合函数的极限运算法则 例7. 求 例8 . 求 内容小结 思考及练习 3. 求 4. 试确定常数 a 使 备用题 设 解 : 令 则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 作业 * * * * 第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大 当 定义1 (P39). 若 时 , 函数 则称函数 例1 (P39) : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 说明 (P39): 2、 0是可以作为无穷小的唯一常数 时 , 函数 (或 ) 则称函数 为 (或 ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、无穷小不是很小的数 定理1 其中? 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大 定义2 (P40) . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例(P42题6), 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明(P41): 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小无穷大关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2 (P41). 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2证明 证 设 取 当 时，有 即 所以 为当 时的无穷小. 反之，设 且 取 当 时，有 由 得 所以 为当 时的无穷大. 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 思考与练习 P42 题1 , 3 P42 题3 提示: 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 时, 有 定理1 (P43). 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， ( P56 , 题 4 (2) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 (P44) . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 (P44) . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 解: 利用定理 2 (P43) 可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限四则运算法则 则有 定理 3 (P44). 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明(P45): 定理 3 可推广到有限个函数相加、减、