无穷小,无穷大,极限的运算法则.ppt

* 第四节 无穷小与无穷大 无穷小 无穷大 无穷小与无穷大之间的关系 无穷小与函数极限之间的关系 无穷小的性质 一.无穷小的概念: ---描述性定义. 无穷小1: 成立, 成立, 无穷小2: 第四节 无穷小与无穷大 同样可以定义: 如: 注：① 无穷小是以 0 为极限的函数. ③说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。 如：函数 但当 时， 的极限为1. 无穷小的唯一常数． ②绝对值很小的数不是无穷小，无穷小是变量. ０是作为 证 对 要使 取 则当 恒成立。 当 时为无穷小。 所以 例1 用定义证明： 当 时为无穷小。 分析： 要证明 当 时为无穷小， 对 只要能找到 当 恒有 成立即可。 定理1 证 设 令 则 是当 时的无穷小。 函数极限与无穷小之间的关系: 只证 的情况。 二、无穷大 ----描述性定义. 无穷大: 注意： 1. 在某个过程中，变量f（x）为无穷大时，f ( x )的极 限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即: 3. 说一个函数为无穷大，必须与自变量的变化过程相联系。 4. 无穷大必是无界变量；但无界变量不一定是无穷大。 2. 分析： 若函数 时为无穷大， 当 由定义，对 取 则当 时， 证 3 无穷大与无穷小的关系: 定理2: 证 定理1 有限个无穷小之和是无穷小。 无穷小的性质: 证: 注意：无穷多个无穷小之和不一定是无穷小。（记录） 证 则 使得对于 成立。 设 设函数 在 的某一去心邻域内是有界的， 则对于 当 时， 恒有 取 则当 同时成立。 及 从而 所以， 是当 时的无穷小。 定理2: 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2:有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 分析： 第六节 极限的运算法则 极限的运算法则 极限的四则运算法则 复合函数的极限运算法则 第六节 极限的运算法则 定理3 可推广到 多个函数 定理3 证明： 由 由定理1 定理3 证明： 由 于是 定理4 定理5(极限的有序性） 证: 无穷小的倒数是无穷大 有理分式的极限： (1)分母的极限不为零: 有理分式: (2) 分母极限为零，分子极限不为零的有理分式函数极限。 由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷大）， 故： 解 (3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子） 解 * * *