十讲数学归纳法极限.doc

第二十六讲：数学归纳法、极限 1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。 2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。 [举例1]已知，则= A．+， B．++， C．- D．+- 解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即 = ==++- =+- 故选D。 [举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k =5(5k－2k) ＋5×2k－2×2k=5(5k－2k) ＋3×2k [巩固1] 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n (n1)时，由n＝k (k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。 A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1 [巩固2]用数学归纳法证明命题： (n＋1) ×(n＋2) ×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1) 新课程教育 3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。 4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。 [举例1] 已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，； 解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边， 因为，所以左边右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时， ，，于是在不等式两边同乘以得 ，[来源:新课程教育] 所以．即当时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立． [举例2]设正整数数列满足：，且对于任何，有 ；（1）求，；（2）求数列的通项． （07高考江西理22） 解析：（1）据条件得 ① 当时，由，即有， 解得．因为为正整数，故． 当时，由，解得，所以． （2）由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明． 1当，时，由（1）知均成立； 2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以． ，所以．又，所以． 故，即时，成立．由1，2知，对任意，． [巩固1]已知数列，，…，，…；S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S，并用数学归纳法证明。 [巩固2] 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证： （07高考重庆理21） 5．若存在，则=，若==0，则一般“约分”（约去含的因式）后再求极限。若=A、=B，则[±]= A±B, []=AB, = (B≠0).新课程教育 [举例] .（07高考陕西理13） 解析：==， ∴= [巩固1] 下列四个命题中，不正确的是（ ）[来源:新课程教育] A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数，满足，则 D． （07高考湖南理7） [巩固2] ________ 6．若||1,则=0；=1，则=1；若1或≤-1, 则不存在。 =(为常数)；“ ”型的式子极限为0；“”型、“”型的极限不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。若=A、=B，则 (±)= A±B, ()=AB, = (B≠0). [举例1]若 . 解析：分母有理化新课程教育 [新课程教育] [举例2]已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ） A．0 B．1 C． D． （07高考湖北理5） 解析： ===，选C。 [巩固1]把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ） A． B． C．