数列、极限、数学归纳法专项训练.doc

第六章 数列、极限、数学归纳法专项训练 【例题精选】： 1、通过观察、归纳写出数列的通项公式。 例1：写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1） （2） （3）2，0，2，0； （4）5，55，555，5555。 分析：（1）分子1，3，5，7是等差数列；分母2，4，，8，16是等比数列，并注意各项符号的变化，可得。 （2）将数列改写成 （3） （4），所以 小结：仅仅给出数列的前项、它的通项公式可能不是唯一的，如题中第（2）问。 2、根据递推关系式与初始项写出数列的前项。 例2：在数列，求数列的前5项。 解： 3、由数列的前项和，求通项。 例3：已知数列的前项和如下，分别求出它的通项公式： （1） （2） 解：（1）当 当 （2）当 ① 当 在②式中，，因此由①与②可知数列的通项公式是 小结：要准确掌握数列的前项和的关系式： 例4：已知数列的前项和，那么下述结论正确的是 （ ） A．为任意实数时，是等比数列 B．=－1时，是等比数列 C．=0时，是等比数列 D．不可能是等比数列 分析：给出（为常数），可由求出通项来进行判断。 当时,由②式时,代入①式得。 所以当=－1时，，数列成等比数列，故选B。 答案：B。 等差数列、等比数列专项训练 【例题精选】： 例1：（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 分析：由成等比数列，若其中有等于零者，不成等比数列，故选B。 答案：B。 例2：求证：若数列成等差数列，则数列是等比数列；若各项均为正的数列成等比数列，则数列是等差数列。 证明：因为是等差数列，所以。 数列是等比数列。 由数列是各项为正数的等比数列，得 数列成等差数列。 例3：已知数列是等比数列，如果且，那么的值等于（ ） A．8 B．16 C．32 D．48 分析：等比数列的基本量是，把已知条件用基本量表示 答案：B。 小结：用方程思想解等差、等比数列问题，首先要抓好基本量。 例4：设是等差数列，，求等差数列的通项。 分析：由等差数列的通项公式，欲表示其通项，要通过解方程组求出。 解：设等差数列的公差为，则 代入已知条件， 整理得 解这个方程组得。 例5：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。 分析：本题求四个数，且给出了四个条件，设四个未知数列四个方程，再去求解是可行的，为了减少解方程中消元的麻烦，也可以利用条件减少未知数的个数，怎么使用条件，方法也不唯一，下面写出较简捷的一种解法。 解：设四个数依次为 由已知， 消去 解得 ∴ 所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。 小结：设未知数、列方程、解方程是用方程解数列问题的重要环节，本例说明，应充分使用已知条件，减少所设未知数的个数，为解方程创造条件。 例6：共有项的等差数列前四项的和为26，后四项的和为110，且所有项和为187，则= 。 解法一：设此等差数列首项为，公差为，依题意： ①＋②得，代入③得 解法二：利用等差数列性质： 在等差数列中， ④＋⑤得，代入③得 小结：本题在解法一中列出三个方程，但含有四个未知数，分析方程间的联系，利用①＋②求出=34，整体代入③则可求，这种方法，可称为“设而不解，整体代入”。 由例3至例6说明，运用方程的思想解等差，等比问题的三个要点：①抓好基本量；②掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节；③“设而不解、整体代入”简化计算。 例7：设是由正数组成的等比数列，且，＋＋的值是（ ） A．5 B．10 C．20 D．40 分析：由等比数列的性质得， ＋＋ 答案：C。 例8：已知一个等差数列，它的前项和为25，前2项和为100，则它的前3项和为（ ） A．125 B．200 C．225 D．275 分析：本题可以列方程求解，若利用等差数列性质和特殊值法十分简捷。 令，由等差中项，可求得125，所以。 答案：C。 例9：某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3个小时，这种细菌由1个可以繁殖为（ ） A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个 分析：依题意