2025年高考数学一轮总复习第6章数列第4讲数列求和.pptx

;第四讲数列求和;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点一公式法求和

1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式．;3．等比数列的前n项和公式：

注意等比数列公比q的取值情况，要分q＝1，q≠1.;知识点二分组求和法

一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．

知识点三倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．;知识点四错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

知识点五裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．;知识点六并项求和法

在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{an}是等差数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解．

形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解．;归纳拓展

1．常见的裂项公式;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．();(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()

[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)√;A．2023 B．2024

C．2025 D．2026

[答案]C;[答案]B;解法二：此类问题可先考虑排除法，令n＝1即得B正确．;5．(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn＝3an＋4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和为Tn.;[解析](1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，

解得a1＝4.

当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，

所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1即an＝－3an－1，

∴数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，

所以an＝4·(－3)n－1.

(2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1，

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n－1，;故3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n，

所以－2Tn＝4＋4·31＋4·32＋…＋4·3n－1－4n·3n

＝4＋2·3·(3n－1－1)－4n·3n

＝(2－4n)·3n－2，

∴Tn＝(2n－1)·3n＋1.;考点突破·互动探究;分组求和法——师生共研;[解析]解法一：∵an＋1＋an＝2n＋5①，

∴当n≥2时，an＋an－1＝2(n－1)＋5②，

①－②得当n≥2时，an＋1－an－1＝2，

∴{an}中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2.

当n为偶数时，an＝2n＋5－an＋1＝n＋4.

所以S8＝(a1＋a3＋a5＋a7)＋(a2＋a4＋a6＋a8);解法二：∵an＋an＋1＝2n＋5，

∴an＋2＋an＋3＝2(n＋2)＋5，a1＋a2＝7，

∴数列{a2n－1＋a2n}是以7为首项，4为公差的等差数列，;2．(2025·重庆名校联盟联考)已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1＝b1，a2＝b2.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；;[解析](1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，等比数列{bn}的首项为b1、公比为q，

解得a1＝2，d＝2，b1＝2，q＝2，

所以an＝2n，bn＝2n.;(2)由题知{cn}的前20项和;名师点拨：分组转化法求和的常见类型

1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．;【变式训练】

(2025·广东揭阳两校联考)已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2024等于()

A．22024－1 B．3×21012－1

C．3×21012－2 D．3×21012－3

[答案]D;裂项相消法——多维探究;[答案]C;[答案]D;名师点拨：

裂项相消法求和在历年高考