2025高考数学一轮复习数列讲义 第五章 数列求和（学生版）.docx
第五章数列求和
考情分析
1、数列求和
考点要求
真题统计
考情分析
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式
(2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法
2023年新高考I卷：第20题，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分
2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分
2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分
2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分
2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分
数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列求和往往以解答题的形式考查，难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解.
去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
知识梳理
【知识点1数列求和的几种常用方法】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
.
②等比数列的前n项和公式：
=.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【方法技巧与总结】
常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【题型1公式法】
【例1】（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，且S9=0.
(1)求Sn
(2)若bn为等比数列，b1=
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知{an}是等差数列，a1=1，且a
(1)求数列{a
(2)求数列{2an}的前
【变式1-2】（2024·辽宁·一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=1
(1)求证：当n≥5时，{a
(2)求{an}的前n
【变式1-3】（2024·江西赣州·二模）已知数列an满足a1=14，a
(1)求证：数列1an?1
(2)记an的前n项和为Sn，证明：
【题型2错位相减法求和】
【例2】（2024·河南·三模）已知等差数列an满足a2=5
(1)求an
(2)求数列an?2
【变式2-1】（2024·黑龙江牡丹江·一模）设n∈N?，若数列an的前n项和为Sn，且an
(1)求数列an
(2)若an?bn是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列bn
【变式2-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,2S
(1)求an
(2)若bn=an2n,求数列
【变式2-3】（2024·天津·模拟预测）数列an是等差数列，其前n项和为Sn，数列bn是等比数列，S3?S2=3，
(1)求数列an、b
(2)anbn的前n项和T
【题型3裂项相消法求和】
【例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列an满足a
(1)证明：数列2n
(2)设bn=an+1an+2a
【变式3-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，
(1)求数列an
(2)设bn=(?1)na
【变式3-2】（2024·福建龙岩·三模）若数列an是公差为1的等差数列，且a3=2，点an,bn在函数f(x)=3x
(1)求数列an
(2)设cn=bn4SnSn+1
【变式3-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，且
(1)求数列an
(2)若a1=?1，求数列1ana
【题型4分组（并项）法求和】
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，S7=49，且a2
(1)求an
(2)若数列an+bn是公比为3的等比数列，且b3=22，求
【变式4-1】（2024·山西·三模）已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，且a3
(1)求数列an
(2)若bn=an,n=2k?12n
【变式4-2】（2024·黑龙江·三模）已知等差数列an的公差d0，a2与a8
(1)求数列an
(2)设