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《经济数学》第四章 * §4.3 函数的单调性和曲线的凹凸性 4.3.1 函数的单调性（monotonicity of function） 现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时， 另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量 反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用 描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看 时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降”的， 好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们引入 了函数“单调性”的概念。 通过研究某些特定函数（事实上是那些基本初等函数） 的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函 数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。 下面我们利用导数来研究函数的单调性。 几何直观 如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看 出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的； 当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。 定理（单调性的充分条件） 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 例如：函数 及 在 内单调减少， 在 内单调增加。如下图所示。 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义: 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 求单调区间的步骤: 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 例1、确定函数 的单调区间. 列表讨论： 例2 解 单调区间为 4.3.2 曲线的凹凸性 观察抛物线 与 ，它们在区间 内都 是单调增加的，但弯曲的方 这说明在研究函数的图形 时，只知道它们的单调性是不 够的，曲线的弯曲方向和弯曲 方向的转变点对我们研究函数 的性态也是十分重要的. 这就 是下面讨论的凹凸性与拐点。 向不一样。 函数图象的凹凸分析： 图象的上升与下降可用一阶导数的符号来判定。 同是上升(或下降)曲线还有凹凸之分. 凹弧的切线总是在曲线的下方 凸弧的切线总是在曲线的上方 从P点改变弯曲方向 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 1、曲线凹凸性的定义 定义 几何直观 如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看 出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的； 当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。 2、曲线凹凸的判定 定理1 如果 在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二 （1） ，则 在[a,b]上的图形是凹的； （2） ，则 在[a,b]上的图形是凸的； 阶导数，若在（a,b）内 注意：点（0,0）是曲线 由凸变凹的分界点。 解 例3、判断曲线 的凹凸性。 ∴曲线在 为凹的。 当 时， 当 时， ∴曲线在 为凸的； ①、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. ②、拐点的求法 3、曲线的拐点及其求法 定理2 如果 在 内存在二阶导数， 则点 是拐点的必要条件是 方法:设函数 在 的邻域内二阶可导，且 （1） 两近旁 变号，点 即为拐点； （2） 两近旁 不变号，点 不是拐点； 例4 求曲线 的拐点及凹凸区间。 解: 令 得： 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 ∴凹区间为 x y 1 -1 1 2 列表讨论如下： ，凸区间为 解： 例5、求曲线 的拐点。 当 时 是不可导点， 均不存在， 但在 内， ,曲线在 上是凹的； 在 内， ,曲线在 上是凸的； 点 是曲线 的拐点。 x y 1 -1 1 2 -1 -2 下课啦 案例 [国防预算] 布什号（尼米兹级第十艘） 造价62亿美元 B-2幽灵战略轰炸机单价：24亿美元 1985年美国的一家报刊报道了 国防部长抱怨国会和参议院削减了