4函数的单调性和凹凸性的判别法.ppt

Nove. 7 Fri. Review 1. 局部Taylor展开式： 2. 带Lagrange余项的Taylor公式： 带Lagrange余项的Maclaurin公式： Nove. 4 Fri. §4 函数单调性与凸性的判别法 函数单调性判别法 函数的凸性及其判别法 一. 函数单调性的判别法 定义 定理1 证明： 定理2 证明： 例 证明： 证明： 解： 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 二. 函数的凸性及其判别法 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于弦的上方 图形上任意弧段位 于弦的下方 定义1 若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。 凸函数 凹函数 定义1’ 凸函数 凹函数 定义2 定理 证明： 几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。 例 求拐点的步骤： 解： 导数不存在，二阶导数也不存在。 凹 凸 凸 证明： 证明： Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)， 8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。 更进一步有不等式： Nove. 9 Wed. Review 函数单调性判别法 函数凸性及其判别法 若函数可微： 凸函数 凹函数 函数凸性判别法： 求拐点的步骤： 3.考察在这些点的左、右的凹凸性。 函数的极值：极大值与极小值 §5 函数极值、函数作图 函数的极值与求法； 渐近线； 函数作图。 一. 函数的极值与求法 定义： 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 定理1(必要条件) 注意: 例如, 极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点). 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例 定理3（第二充分条件） 证明： 极大值 极小值 定理3’(第二充分条件) 例 1. 若直角三角形的一只角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形； 小 结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为极值可疑点. 函数的极值必在极值可疑点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) Hw：p160 1(双),2,3,4(2,3),6,7,9,10,12,13,15. 二. 渐近线 定义: 1.垂直渐近线 例如 有垂直渐近线两条: 2.水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 3.斜渐近线 斜渐近线求法: 注意: 例 三. 函数作图 1.函数基本性质： 1). 定义域，值域，连续范围； 2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶 函数关于y轴对称； 3). 周期性。 2. 利用导数研究函数性质： 3. 渐近线 1). 垂直渐近线； 2). 水平与斜渐近线。 4. 描点作图 例 hw：p166 3,4. 列表 – . . 对函数进行全面讨论并画图： 解 所以，曲线有渐近线 x =0 0 (拐点) + + 因 – – – – 0 0 + + 3 极小值 + 例1. 0 . 间断点 3 . 列表 – . 对函数进行全面讨论并画图： 解 所以，曲线有渐近线 y =0， 因 + + – + + 0 因 y(–x) = – y(x)， 图形关于原点对称。 –1 0 1 – 0 (拐点) 间断点 间断点 – + 及 x =1，x = –1 x = 0 2. 1 –1 . 小 结 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察. 最大值 最小值 极大值 极小值 拐点 凸的 凹的 单增 单减