函数的单调性和曲线的凹凸性9.ppt

* * 第三章 微分中值定理与导数的应用 §3-4 函数的单调性和曲线的凹凸性 一、函数的单调性 单调性定义: 给定函数 f (x)在[a, b]上有定义 (1) x1 x2 ? f (x1) f (x2) 称 f (x)在[a, b]上单调增加的. (2) x1 x2 ? f (x1) f (x2) 称 f (x)在[a, b]上单调减少的. 下面我们利用导数来研究单调性. 定理1. 设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上可导, 则 (1) 若?x?(a, b)有f (x)0, 则 f (x)在[a, b]上单调增加. (2) 若?x?(a, b)有f (x)0, 则 f (x)在[a, b]上单调减少. 证: 利用拉格朗日中值定理, f (x2) – f (x1) = f (?)(x2 –x1) ?x1, x2?(a, b), x1 x2时, f (x2) – f (x1)与 f (?)的符号相同, 故在(1)条件下, f (x)单调增加; 在(2)条件下, f (x)单调减少. 例1. 解: 由定理1知, 注1. 若在(a, b)上个别点处 f (x) = 0. 其余点f (x) 0. 则 f (x)也是单增的. 比如, f (x) = x3, f (x) = 3x2, f (0) = 0, x ? 0, f (x) 0 f (x)在(??, +?)上单增. 0 x y=x3 y 注2. f (x) 在(a, b)上变号, 则分区间讨论 f (x)的单调性. 例2. 解: 在(??, 0)上, y 0,故函数在(??, 0)上单增. 在(0, +?)上, y 0,故函数在(0, +?)上单减. 如图 0 x y 例3. 证明当 x 0时, 有x ln(1+x). 解: 设 f (x) = x – ln(1+x) 当 x 0时, f (x) 0. 故在(0, +?)上 f (x)单增. 即有当 x 0时, f (x) f (0) = 0. 例4. 证明不等式 ex – (1+x) 1– cosx, (x 0) 证明思路: 用两次单调性 证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx) = ex –x +cosx –2 则 F(0)=0. 要证F(x) 0 (x 0) F(x) = ex – 1– sinx 又有 F(0) = 0. F(x) = ex– cosx 当x 0时, F(x) 0 从而F(x)是单调增加的. F (x) F(0) =0. 又得F(x)是单调增加的, 所以x 0时, F(x) F(0) = 0. 二、曲线的凹凸性 凹凸性标志着图形弯曲的方向. 如图(a), (b) y=f (x) o y x x1 x2 A B (x1, y1) (x2, y2) x x o y x1 x2 A B y=f (x) (x2, y2) (x1, y1) x (b) (a) 若曲线弯曲的方向向上(下), 即曲线上任意两点间的弧段位于连接该两点的弦的下(上)方. 则称该曲线是凹(凸)的. 用数学式描述如下: 在曲线 y = f (x)上任取两点(x1, y1)和(x2, y2), 其中y1= f (x1), y2= f (x2). 不妨设x1 x2. 连接两点的弦的方程为 即 固定t?[0, 1], 则可得区间(x1, x2)内一点 x = x2+(x1– x2)t = t x1+(1– t) x2 这时对应弧的纵坐标A: f (t x1+(1– t) x2) 弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2 = t f (x1)+(1– t) f (x2) 故得如下定义. 定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,?x1, x2?[a, b](x1?x2) 和t?(0, 1), 若有 f (t x1+(1– t) x2) t f (x1)+(1– t) f (x2) (1.1) 则称f (x)在[a, b]上的图形是凹的. 则称f (x)在[a, b]上的图形是凸的. 若有 f (t x1+(1– t) x2) t f (x1+(1– t) f (x2) (1.2) 定理2. 若 f (x)?C[a, b], 且在(a, b)内具有二阶导数, 那么 (1) ?x?(a, b), f (x)0, f (x)图形凹. (2) ?x?(a, b), f (x)0, f (x)图形凸. 证明: 令 x0 = t x1+(1– t) x2 由泰勒公式 设 f (x)0, 代入