-第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性.ppt

高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 一、函数的单调性之判定 在图象中我们发现上升函数的导数大于0,而下降函数的 导数小于0,可见,函数的单调性与函数导数的符号有关. x y Y=f(x) a b x Y=f(x) a b y 定理1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,则f(x) 在[a,b]上单调上升(下降)的 充分必要条件是在(a,b)内f’(x)≥0(≤0) 即在[a,b]上f(x)单调上升→在(a,b)内f’(x)≥0; 在[a,b]上f(x)单调下降→在(a,b)内f’(x) ≤ 0;. 证明: 我们只证明单调上升的情况 必要性, 设在[a,b]上f(x)单调上升,任意取一点 x0∈(a,b),及x ∈[a,b], 不论xx0还是xx0,由于f(x) 单调上升,都有 x y Y=f(x) a b x x0 x 又函数在(a,b)内可导,f’(x0)存 在,对它取极限得到 由x0的任意性,知必要性成立. 充分性. 设在(a,b)内f’(x)≥0,再设x1,x2是[a,b]内任意两点, 设x1x2, 由中值定理,有 证明完毕 推论:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则 (1) 在(a,b)内f’(x)0在→[a,b]上f(x)严格单调上升. (2) 在(a,b)内f’(x) 0 →在[a,b]上f(x)严格单调下降; 例1 讨论函数的单调性 解: 当x=3,x=-1和x≠1,现在分四个区间讨论 区 间 y’ 函数的单调性 (-∞,-1] f’(x)≥0 单调上升 [-1,1) f’(x) ≤ 0 单调下降 (1,3] f’(x) ≤ 0 单调下降 [3,+ ∞) f’(x)≥0 单调上升 -1 1 3 x 二 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点 x y x1 x2 x y x1 x2 上面我们研究了函数单调性的判定方法,函数的单调性表示 曲线的上升和下降,图中的曲线是上升的,但它们的凹凸性不 同.在几何上,我们在曲线弧上任意两点的弦总是在弧的下面, 有的在弧的上方曲线的这种性质我们称为曲线的凹凸性. 定义 设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2.恒有 我们称为向上凹的 如果恒有 我们称为向上凸的 如果我们用二阶导数的符号来表示的话,我们有定理2 定理2 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶二阶导数, 那么: (1)若在(a,b)内f”(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的 (2)若在(a,b)内f”(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的. 证明: 在(1)的情况,设x1和x2是[a,b]内任意两点,且x1x2, 记(x1+x2)/2=x0,并记 x2-x0=x0-x1=h, 则x1=x0-h, x2=x0+h 由拉格朗日中值公式,得到 所以是凹的 例1 讨论函数y=lnx(x0)的凹凸性 例2 讨论函数y=sinx在其一个周期(0,2π)内的凹凸性 sinx在(0, π)内上凸,在(π,2 π)内上凹. x y x y x y Y=lnx 记忆方法 解: 是上凸的 解: 二 拐 点 在y=sinx的曲线中,当x=π时, 其左邻域为上凸 (y”0)右邻域为 下凹(y”0).它是曲线的凹凸性的 分界点称为拐点 x y=sinx y 定义2 曲线f(x)的向上凸部分与向下凹部分的分解点称 为该曲线的拐点. 定理3 (必要条件) 若函数f(x)在(a,b)上二阶可导,则曲线 f(x)上的点 (x0,f(x0))为拐点的必要条件是f”(x0)=0 可能的拐点只有两种情况: (1)它是方程