第四节函数的单调性与极值.ppt

例7 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 在–1和1之间振荡 故命题不成立． 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 思考题 1. 2.下命题正确吗？ 思考题解答 1.不能断定. 例 但 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． 2.不正确． 例 练 习 题（一） 练 习 题（二） 练习题（一）答案 练习题（二）答案 第四节 函数的单调性与 极值 一、函数的单调性 二、函数的极值 一、函数的单调性 定理 证 应用拉氏定理,得 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 例2 解 单调区间为 例3 解 单调区间为 例4 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 二、函数的极值 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 函数极值的求法 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例5 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 例6 解 图形如下 注意: